일차부등식(3) 일차부등식의 응용

일차부등식의 응용

linear inequalities word problem

"그래프를 이용하니까 부등식 문제를 정확하게 풀어낼 수 있어요"

" using graphs help solve inequality problems accurately "

미지수 개수만큼의 특정한 해만을 갖는 등식에 비해, 부등식은 일정한 범위를 해로 갖기 때문에, 논리적인 계산을 통해서 정확하게 정답의 구간을 구해야 하는 단원입니다.

특히, 중학수학부터는 정수나 음수(–)인 실수를 포함하는 범위에서 부등식을 풀어야 하기 때문에, 잘못된 풀이를 하거나 계산 실수도 잦아, 많은 학생들이 어려워합니다.

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선(number line) 다이어그램이나, 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프를 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두어야 합니다.

큰 어려움 없이, 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내거나, 부등식의 범위와 동의어가 되는 최대/최소값 문제를 그래프로 나타내고 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 보기 문제를 보도록 할까요?

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 x + a > 3x – 2 를 만족하는 자연수의 개수가

 3개일 때, 상수 a 값의 범위를 구하여라.

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(1) x 항들은 x 의 계수가 양(+)이 되도록 한 변에, 상수항들은 다른 변에 정리합니다.

     그래야 음수이면 부등호의 방향이 바뀌는 것을 아예 방지함으로써,

     실수를 최소화 할 수 있습니다.

+ a + 2 > 3x – x

(2) 좌변에 x 항이 위치하도록, 필요한 경우 부등호 방향을 바꾸어 양변을 간단하게

     정리합니다.

  2x < a + 2

(3) 양변을 x 의 계수로 나눕니다. 미리 앞에서, x 의 계수가 양(+)이 되도록 정리했으니까,

     음수로 부등호의 방향이 바뀌는 일은 없겠지요?

     일반적으로 문자 계수가 주어진 경우에는, 음수(–)이면 부등호의 방향이 바뀌는 것에

     주의해야 합니다.

      따라서,  x < (a+2)/2

(4) 위의 부등식 구간을 수직선(number line)에 표시합니다.

     조금 어렵게 느껴진다면, (a+2)/2 = k 로 치환하도록 할까요?

     등호가 없으니까, 큼지막하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미를 표시해야 하겠지요?

(5) 문제에서 자연수의 개수가 3개라고 했으니까, 위 그림에서 하얀 동그라미로 표시된

     (a+2)/2 = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 1, 2, 3 이 빨간색으로 표시된 부등식의

     구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내야 하겠지요?

(6) 이 때, 하얀 동그라미로 표시된 (a+2)/2 = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 3

     또는 4 위에 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

 3 < (a+2)/2 = k ≤ 4

(7) 이제 남은 계산만 정리해 주면 되겠지요?

 6 < a + 2 ≤ 8

       따라서, 답은 4 < a ≤ 6

이번에는, 다른 유형의 문제를 풀어 볼까요?

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 어른 1 명이 혼자 일을 하면 10 일이 걸리고,

 어린이 한 명이 하면 20 일이 걸리는 일을, 어른과

 어린이를 합하여 5명이 이틀 내에 끝내려고 한다.

 어른은 몇 명 이상이 필요한지 구하여라.

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(1) 이런 유형의 문제에서는 전체 일의 양을 1 이라고 놓는다고 했었지요?

     또, 문제에서 묻고 있는 어른의 인원수를 x 라고 놓는 것이 좋겠지요?

(2) 어른과 어린이가 하루에 할 수 있는 일의 양을 식으로 세우면,

어른이 하루에 일하는 양     :  1/10

어린이가 하루에 일하는 양  :  1/20

(3) 어른의 인원수를 x 라고 놓으면, 어린이는 (5–x) 명이 되니까

     어른과 어린이를 합하여 5명이 하루에 하는 일의 양은,

(1/10)x + (1/20)(5–x)

(4) 이틀 내에 일을 끝마쳐야 하니까, 위에서 구한 일의 양의 2배가, 전체 일의 양인 1 보다

     크거나 같아야 하겠지요?

2{(1/10)x + (1/20)(5–x)} ≥ 1

(5) 부등식 양변에 최소공배수 20을 곱하여 정리하면,

4x + (5 – x) ≥ 20

3x ≥ 15

∴  x ≥ 5

따라서, 답은 어른 5명 이상