이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

─────────────────────────────

 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

─────────────────────────────

(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

─────────────────────────────

 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

─────────────────────────────

(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

──────────────────────────

 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

──────────────────────────

(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

일차함수(4) 일차식과 직선의 관계

일차식과 직선의 관계

relationship between linear equations & function graphs

"수직선을 이용하면 연립부등식 풀이도

아주 쉬워지고 실수도 안해요"

" number line diagram makes it easier

to solve systems of inequalities "

일차식을 그래프로 나타내면 직선이 되고, 직선의 그래프를 식으로 나타내면 일차식이 되니까, 함수 방정식과 그 그래프는 마치 동전의 양면과 같다는 아주 중요한 개념입니다.

방정식이나 함수식으로 해결하는 방법은, 마치 나무를 하나 하나 세밀하게 논리적으로 보며, 미시적으로 계산하는 것과 같다고 한다면,

그래프로 해결하는 방법은 직관적이며, 마치 거시적으로 숲을 보면서 문제를 해결하는 종합적인 관점이라고 할 수 있습니다.

중, 고등과정에서는 문제로 주어지는 방정식이나 함수식이 거의 대부분 그래프로 그려지는 범위 내에서 공부하기 때문에, 그래프로 생각하고 해결하는 것이 상대적으로 유리하고, 상위수준의 방법이라 할 수 있습니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

앞에서 배운, 일차방정식을 복습해 볼까요?

(1) 5x – 2 = 2x + 7 을 계산할 때,

(2) [등식의 성질]을 이용하면,  3x = 9

(3) 따라서, 양변을 3으로 나누면,  x = 3

위 내용을 각각의 단계별로 그래프를 이용해서 비교해 볼까요?

(1) 좌변과 우변을 각각의 함수식으로 생각하면, y = 5x – 2 와 y = 2x + 7 의 두 직선식이 같다는 뜻이지요? 따라서, 아래 그림에서 파란색 두 직선의 교점 A 이 됩니다.

(2)번의 식에서도, 양변을 각각의 함수식으로 생각하면,  y = 3x 와 y = 9 의 두 직선식이 같다는 뜻이고, 아래 그림에서 빨간색 두 직선의 교점 C 가 됩니다.

(3) 마지막으로, 양변을 각각 함수식으로 생각하면,  y = x 와 y = 3 의 두 직선의 식이 같다는 뜻이고, 위 그림에서 검은색 두 직선의 교점 E 가 됩니다.

(4) 또는, x = 3 을 그대로 그래프로 나타내면, y 값에 관계없이 x 값은 언제나 3 이라는 뜻을 갖는, x 축에 수직인 초록색 점선을 나타냅니다.

(5) 즉, 하나의 방정식은 [등식의 성질]을 이용해서 여러 가지로 바꾸더라도, 등호가 성립하는 한, 좌변과 우변의 함수식으로 나타내는 두 그래프의 교점의 x 좌표는 언제나 그 방정식의 해가 된다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, 방정식을 그래프로 풀 때에는, 식의 등호가 성립하는 한, 문제를 풀기 쉬운 형태로 바꾼 후, 그래프에서 두 직선의 교점의 x 좌표를 구하면 됩니다.

특히, 방정식을 f (x) = 0 의 꼴로 정리한다면,

(1) 우변의 그래프는 항상 y = 0. 즉, x 축이 되니까, 해를 구하는 것이 더욱 편리해 지겠지요?

(2) 그래서, 주어진 방정식을 풀 때에는, f (x) = 0 의 꼴로 정리한 다음, 우변만 y = f (x) 라는 한 개의 그래프만 가지고 x 축과의 교점을 생각하는 것이 일반적입니다.

특히 조금 어려운 문제의 유형에서 방정식의 x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우에는, 그래프의 교점의 개수만 알면 되니까 당연히 그래프만으로 풀어내야 하지요.

예를 하나 볼까요?

───────────────────────────────────────────

 다음 방정식이 2개 이상의 해를 갖도록 하는 k 값의 범위를 구하여라.

       x + | 2 x – 1 | = k – 3

───────────────────────────────────────────

(1) x 값을 구하는 것이 아니라, 해의 개수를 묻는 경우이니까, 당연히 그래프 만으로 풀어내야 하겠지요?

(2) 좌변과 우변을 어떻게 놓아야, 그래프를 쉽게 그리기가 좋을까요?

     식을 | 2 x – 1 | + 3 = – x + k 로 정리한 다음,

(3)  y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ① 과  y = – x + k ⋯ ② 로 놓고 그래프를 그리는 것이 보다 쉬운 방법이겠지요?

(4) 위의 그래프에서 y = | 2 x – 1 | + 3 ⋯ ①은 검은색의 꺽인 실선이고, 우하향의 직선들이  k 값의 변화에 따른 y = – x + k ⋯ ②를 나타내지요?

(5) 빨간색 점선일 때는 만나지 않고, 파란색 실선일 때 교점이 1개가 되는군요…

(6) 그래프에서 보면, 파란색 실선보다 위에 있는 파란색 점선들인 경우에야 2개의 교점을 갖지요?  따라서, 답은 k > 3.5

이제, 비슷한 유형의 확인 문제를 혼자서 한번 더 풀어 보세요.

───────────────────────────────────────────

 방정식 x – | | x | – 1 | + k = 0 가 오직 하나의 해를 갖도록

  k 값의 범위를 구하여라.

───────────────────────────────────────────