약수와 배수(1) 인수, 약수와 배수

약수와 배수

factors and multiples

"소수를 알면

숫자가 쉽게 보여요"

" having learned prime factors,

any integer looks easy "

정수범위 내에서, 소수 (prime number) 는 더 이상 나누어지지 않는 기초단위라서, 숫자를 이해하는 데 아주 편리합니다.

정수를 소수들의 곱으로 분해해 보면, 숫자들 사이에 공통적인 요소를 쉽게 알아낼 수 있어, 공약수나 공배수를 찾아 내서 영리한 계산을 하는 데에도 큰 도움이 되지요.

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하면, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각하고 처리할 수 있어서, 일반적인 원리나 공식을 유도해 내거나 응용력을 향상시킬 수 있습니다.

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예를 들어 14 를 3 으로 나누면 몫이 4 이고 나머지가 2 라고 할 때, 초등 산수에서는 14 ÷ 3 = 4 ⋯ 2 와 같은 표현을 쓰지만, 중학수학부터는 반드시 14 = 3 * 4 + 2 라는 하나의 식으로 나타낼 줄 알아야 합니다.

이 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

문자나 수학기호만 나오면 멀미(^^)가 난다구요?

처음에는 어렵겠지만, 조금씩 익숙해지면, ‘어쩌면 이렇게 간단하면서도 논리적으로 정교한 언어가 만들어 졌을까’ 하고 경탄하게 될 겁니다. 진정한 수학의 재미는 기호와 문자를 이용한 일반화에 있으니까요.

위에서 예를 들었던 나눗셈을 문자로 일반화시킨다면, 'A 를 0 이 아닌 B 로 나누면, 몫이 Q(quotient)이고, 나머지가 R(remainder)이다' 라고 하고, 식으로는 A = B * Q + R 로 나타낼 수 있습니다. 

이번에는 나누어 떨어지는 경우를 생각해 볼까요?

나누어 떨어진다면, 나머지가 없겠지요?

즉, 문자로 나타내면 R = 0 이니까, 식으로는 A = B x Q 라고 표현할 수 있겠지요?

이렇게 나머지가 없이 나누어 떨어질 때, A 는 B 와 Q 의 곱이니까, A 는 B 또는Q 의 배수라고 합니다. 또, B 와 Q 는 A 의 약수 또는 인수라고 합니다. 

특히, 중학 수학부터는 A, B, Q 가 모두 정수인 경우로 확장됩니다.

예를 들자면, 6 = 2 * 3 = 1 * 6 = (– 2) * (– 3) = (– 1) * (– 6) 이 성립하니까,

1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 은 모두 6 의 약수가 됩니다.

또, – 3 의 경우도 – 3 = 1 x (– 3) = 3 x (– 1) 이 성립하니까,

1, 3, – 1, – 3, 은 모두 – 3 의 약수가 되지요. 

(1) 짝수와 홀수

예를 들어, A = 2Q 라고 표현하면 A가 2 의 배수 즉, 짝수라는 것을 나타내고, A = 2Q – 1 인 경우는 홀수를 나타내는 것입니다.

마찬가지로, 중학 수학부터는 A, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되니까, Q 가 0 이거나 음수(–) 인 경우도 포함되므로, 2, 4, 6 ⋯ 만이 아니라, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ 도 짝수라는 점에 주의해야 합니다. 

(2) 소수와 합성수

'소수' 는 1 과 자기자신 이외에는 약수를 갖지 않는, 1 보다 큰 자연수(* 정수가 아니라는 점에 주의) 를 말합니다. 이 소수들은 '합성수' 를 분해해서 보거나, 두 개 이상의 합성수들 사이에서 공통되는 인수를 알아내는 데 아주 유용합니다. 

'합성수' 는 '1 과 자기자신 이외에, 적어도 하나 이상의 다른 양(+) 의 약수를 갖는, 1 보다 큰 자연수' 라고 정의하니까, '1 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수' 라고 말하기도 합니다. 

따라서 자연수는 '1' 과 '소수들' 과 '합성수들' 의 3 가지로만 이루어져 있다고 할 수 있겠지요? 

예를 들어, 90 과 132 는 어떤 공통점을 가지고 있을까요?

90 과 132 를 소수로 분해해 보면 되겠지요? 소인수로 분해하면, 서로 2 와 3 이라는 공통점 즉, 이라는 공통인수(공약수)를 가집니다. 

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

132 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11

여기서, (1) 교집합의 개념을 이용해서, 90 그리고(∩) 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰 것인, 2 x 3 = 6 을 최대공약수(G),

(2) 합집합의 개념을 이용해, 90 또는(∪) 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 것인 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 을 최소공배수(L) 라고 하고,

기호로는 G (90, 132) = 6 과 L (90,132) = 1980 와 같이 사용합니다. 

모든 정수를 이렇게 소수로 분해 (소인수분해) 하고 나면, 여러 개의 수 사이의 공약수나 공배수를 찾기가 쉬워서, 공통인수로 약분을 하거나 분배법칙으로 묶어서 계산할 때, 아주 편리합니다. 

예를 들어 계산문제를 한 번 볼까요?

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하고, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각해 보세요. 공통인수로 묶거나 약분으로 정리가 모두 끝난 다음, 마지막에만 간단히 계산하면 모든 문제가 너무 쉽고 간편해 지지요.

132 ÷ 18 x 5 – 90 x 11 ÷ 36

= (2 * 2 * 3 * 11) ÷ (2 * 3 * 3) * 5 – (2 * 3 * 3 * 5) * 11 ÷ (2 * 2 * 3 * 3)

= (2 * 2 * 3 * 11 * 5) / (2 * 3 * 3) – (2 * 3 * 3 * 5 * 11) / (2 * 2 * 3 * 3)

약분해 주면

= (2 * 11 * 5) / 3 – (5 * 11) / 2

공통인수를 묶어주면

= 5 * 11 * (2/3 – 1/2)

최소공배수(L)로 분모를 통분하면

= 5 * 11 * (4/6 – 3/6)

= 5 * 11 * 1/6

= 55/6

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집합(1) 집합의 정의

집합의 정의

definition of a set

"자연과학의 기초언어가 수학이라면

수학의 기초언어는 집합입니다"

" If math is the language of science,

then set theory is the language of math "

최근 중학 교과개정에서 ‘집합 (set theory)’ 단원이 빠졌지만, 수학공부에 기초가 되는 중요한 개념이기 때문에, 표준 교과과정과 관계없이 기본적인 개념과 표현방법 및 기호는 반드시 알아두어야 합니다.

특히, 학생들이 비교적 어려워하는 아래의 단원들에서 합집합 과 교집합 (또는 공통집합) 의 개념이 반드시 필요합니다.

(a) 연립방정식과 연립부등식 (systems of equations and inequalities)

(b) 절대값이 들어간 방정식과 부등식 (equations and inequalities with absolute values)

(c) 그래프를 이용한 최대값과 최소값 (finding minimum & maximum values using graphs)

(d) 경우의 수와 순열, 조합 및 확률 (counting outcomes, permutations, combinations & probabilities)

중 1 처음 시작부터, 최소한의 기본 개념과 집합기호는 벤 다이어그림 (Venn diagram) 등의 시각적 응용력과 함께, 반드시 익혀 두도록 하기 바랍니다.

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[ A ] 기본 용어

아래 그림에서 빨간색의 타원으로 표시된, 점 a, b, c 로 이루어진 A 라는 모음을 가리킬 때, A = { a, b, c } 라 표현하고, a, b, c 들을 각각 원소 (element), 이들의 모음인 A 를 집합 (set) 이라고 합니다.


이 때, '원소 a 는 집합 A 에 속한다' 고 표현하고, 기호로는 a ∈ A 와 같이, '원소 d 는 집합 A 에 속하지 않는다' 라고 표현하고, 기호로는 d ∉ A 와 같이 나타냅니다.

위 그림에서 노란색으로 표시된, 집합 B = { a, b, c, d } 라고 한다면, A 는 B 에 포함되니까, '집합 A 는 집합 B 의 부분집합 (subset)' 또는 '집합 A 는 집합 B 에 포함된다' 라고 표현하고 A ⊂ B 의 기호를 사용합니다.

일반적으로, 부분집합이라는 표현은 B ⊂ B 와 같이 같은 집합일 때도 적용됩니다. 위의 예에서 집합 A 는 B 에 포함되는 작은 집합이니까, 특별히 집합 B 의 진부분집합이라고 부르고 A ⊊ B 라는 기호를 사용합니다.

[ B ] 집합의 원소


앞에서 예를 들었던 집합 A , B 에 대해서, 원소의 개수 (number of elements) 를 나타낼 때는 기호를 써서,  n (A) = 3, n (B) = 4 와 같이 표현합니다.

집합 사이의 관계를 시각적으로 잘 보여 주는, 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 사용해서 조금 더 구체적으로 알아 볼까요?

위의 그림과 같이, 파란색으로 표시된 집합 C = { b, c, e, f } 가 있을 때,

(1) 합집합 A∪C 는 집합 A 에 속하거나 또는 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∪C = { a, b, c, e, f } 이고, 수학적 개념으로는 덧셈 ( + ) 의 뜻도 가지고 있습니다.

(2) 교집합 A∩C 는 집합 A 에 속하고 그리고 동시에 집합 C 에 속하는 원소들의 집합으로 A∩C = { b, c } 를 말하며, 수학적 개념으로는 곱셈 ( x ) 의 뜻으로도 사용됩니다.

(3) 전체집합 U 는 위 그림에서 갈색의 직사각형으로 나타낸, 모든 원소를 전부 포함하는 집합을 말합니다.

(4) 여집합 A^c 는 전체집합 U 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A^c = { d, e, f, g, h } 가 됩니다.


(5) 차집합 A – C 는 집합 A 에는 속하지만 C 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 A – C = { a } 를 말합니다. 마치 뺄셈을 한 것과 같지요?

반대로, 차집합 C – A 는  집합 C 에는 속하지만, A 에는 속하지 않는 원소들의 집합으로 C – A = { e, f } 를 말합니다.

또, 차집합은 여집합 기호를 사용해서, A – B = A∩B^c 로 정의하기도 합니다.

집합의 기본적인 개념과 정의 및 기호들은, 반드시 복습하면서, 핵심 내용을 깔끔하게 정리해 두기 바랍니다. 배운 것을 스스로 복습하면서 요점을 정리해 나갈 때, 수학실력은 쑥쑥 자라나게 됩니다.

어려운 심화수준의 수학공부도, 기초 단계에서는 정의나 기초공식들 그리고 기본정리들을 반드시 외워 두어야 합니다.

아무리 창의적이거나 혹은 심화 수준의 공부라 하더라도 기초단계에서는 기본용어나 정리를 외우고, 그 바탕 위에서 분석력이나 종합적 사고력을 키워 나가는 것입니다.





여집합의 개념을 활용하는 문제의 예를 볼까요?

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1000 미만의 자연수 중에서, 13 의 배수가 아닌 것의 개수를 구하여라.

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(1) 13 의 배수가 아닌 것을 그냥 세는 것은 너무 심하지요? 그렇게 세고 있는 학생들에겐 문제에서 '1000 미만' 을 '10억 미만' 으로 바꿉니다. ^^

(2) 경우의 수가 규칙성도 없고, 너무 많으니까…, 앞에서 배운 여집합의 개념을 활용해서, 반대의 방법으로 구하는 건 어떨까요?

(3) 어떤 경우들이 있는지를 따져 보다가, 그 경우의 수가 너무 많거나 규칙이 보이지 않을 때, 반대로 생각해서 해결하는 것이 여사건 또는 여집합의 방법입니다.

(4) 전체에서 13 의 배수의 개수만 빼주면 되겠지요?

999 – (13 의 배수의 개수)

= 999 – 76

= 923

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