다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

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[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

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                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2

행렬(7) AB+A+B=O 인 행렬

AB+A+B=O인 행렬

matrices such that AB+A+B=O

"심화문제에서는 약방에 감초같이 등장해요"

" a ubiquitous equation in advanced level exams "

방정식 AB + A + B = O 는 심화수준의 중고등수학 전 과정에서 약방의 감초같이 자주 등장하는 매우 중요한 조건식입니다.

[부정방정식], [근과 계수의 관계] 단원뿐만이 아니라, [분수식] 과 [분수함수] 등 모든 단원의 심화수준 연계유형으로 출제되고 있으니, 기본개념과 원리를 철저하게 이해하고, 응용력을 키워두기 바랍니다.

[행렬] 단원에서도 심화수준의 진위문제 유형에서, 출제의도를 숨기는 조건 제시방법으로 자주 나타납니다. 반드시 기억해 두기 바랍니다.

1등급의 상위권 학생이라 하더라도, 행렬의 진위문제는 실수범위 내에서의 연산과는 다르기 때문에 많은 유형들을 암기해 두어야만, 쉽고 빠르게 문제를 해결해 나갈 수 있습니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

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정수 또는 자연수 조건의 [부정방정식] 에서 배운 내용을 복습해 볼까요?

예를 들어, x, y 가 정수 조건일 때 xy + 2x – 3y = 8 인 부정방정식은 어떻게 해결했었지요?

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 x 와 y 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

xy + 2x – 3y

= (x – 3)(y + 2) + 6

(2) 조건 식을 [정수 × 정수 = 0 이 아닌 정수] 형태로 바꾸면,

(x – 3)(y + 2) + 6 = 8

(x – 3)(y + 2) = 2

(3) 이제, 아래와 같이 정수의 곱이 2 가 되는 곱셈표를 만들어, 해를 구하면 됩니다.

x – 3	y + 2	x	y
2	1	5	– 1
1	2	4	0
– 2	– 1	1	– 3
– 1	– 2	– 2	– 4

(4) 따라서, 아래의 4 정수 쌍이 구하는 해가 됩니다.

(x, y) = (5, – 1)  or  (4, 0)

or  (1, – 3)  or  (– 2, – 4)

단위행렬인 E 가 실수에서 곱셈의 항등원인 1 의 역할을 한다는 것만 알고 있다면, 위에서 공부한 정수형태의 부정방정식 해법을 이차 정사각행렬에서도 그대로 적용할 수 있습니다.

그러면, 행렬의 조건식 AB + A + B = O 을 풀어 보도록 할까요?

(1) 우선, 조건 식의 좌변을 A 와 B 항의 곱의 형태로 바꾼 다음, 일차항의 계수를 맞추어 주어야 하겠지요?

AB + A + B

= AB + EA + EB

= (A + E)(B + E) – E

(2) 이제, [일차식 × 일차식 = 단위행렬의 배수] 형태로 바꾸면,

(A + E)(B + E) – E = O

∴  (A + E)(B + E) = E

(3) 두 개의 행렬이 서로 곱해서 단위행렬 E 가 된다면, 두 행렬은 서로 역행렬이 된다는 것을 알고 있지요?

(A + E)^-1 = (B + E)

(B + E)^-1 = (A + E)

∴  (A + E)(B + E) = (B + E)(A + E) = E

(4) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개해서 간단하게 정리해 보면,

(A + E)(B + E) = (B + E)(A + E)

AB + A + B + E = BA + B + A + E

∴  AB = BA

행렬의 진위 문제에서 'AB + A + B = O' 또는 'AB – A – B = O 를 만족한다' 라는 조건이 주어지면, 숨어 있는 실제 조건의 내용은 AB = BA 라는 것을 영리하게 알아채야 합니다.

수능형 모의고사 등에서 자주 등장하는 다소 야비한(?) 유형이긴 합니다만, 수험생의 입장에서도 몇 가지 유형을 간단하게 외워서 대응하면 됩니다. 공식으로 정리해 둘까요?

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행렬의 진위 문제에서 AB + A + B = O 또는 AB – A – B = O 를 만족한다는 조건이 주어지면, 실제의 숨은 조건은,

AB = BA

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예제 문제를 하나 풀어 볼까요?

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이차 정사각행렬 A, B 에 대하여, AB = A + B 일 때, 아래에 주어진 식의 참 또는 거짓을 판별하여라.

(AB)² = A²B²

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(1) 우선 조건식을 [행렬 x 행렬 = O 이 아닌 행렬] 형태로 바꾸면,

AB – A – B = O

AB – A – B + E – E = O

(A – E)(B – E) – E = O

∴   (A – E)(B – E) = E

(2) 두 행렬을 서로 곱해서 단위행렬 E 가 되므로, 두 행렬은 서로 역행렬의 관계이지요.

(A – E)^-1 = (B – E)

(B – E)^-1 = (A – E)

(3) 정사각행렬과 그 역행렬은 서로 순서를 바꾸어서 곱해도 항상 단위행렬이니까, 두 식을 전개한 후에, 서로 같다고 놓으면 AB = BA.

(A – E)(B – E) = (B – E)(A – E) = E

∴   (A – E)(B – E) = (B – E)(A – E)

AB – A – B + E = BA – B – A + E

∴  AB = BA

(4) 따라서, AB = BA 를 주어진 식에 아래와 같이 적용하면 참이 된다는 것을 알 수 있습니다.

(AB)²

= AB x AB

= ABAB = AABB

= A²B²

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