직선의 방정식(3) 한점을 지나고 평행한 직선

한점을 지나고 평행한 직선

point-slope form of a line equation

"원점을 잡고 지나는 점까지

평행이동시키세요"

" grab & drag the line

from (0, 0) to the point "

일차함수의 그래프는 중고등 수학 전과정에서 다양하게 활용되는 매우 중요한 단원입니다.

문과 고등학생 중에도 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 경우를 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는 데 꼭 필요한 중요한 개념이니까 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에는 대표적으로 2 가지가 있습니다.

앞에서 배웠던 y = ax + b 를 활용하는 방법이 가장 기초적이고 기본적인 방법이라면, 한 단계 높은 수준으로, 평행이동의 개념을 이용한 y – β = m (x – α) 의 방법이 있습니다.

어느 정도 실력이 갖추어진 학생이라면, 두 번째의 평행이동을 이용한 방법을 사용하는 것이 응용력의 향상에 도움이 됩니다. 그러면 하나씩 구체적으로 알아 보도록 할까요?

[ A ] 표준적인 y = ax + b 를 활용하는 방법 (slope-intercept form)

예를 들어, 기울기가 2 이고 점 (1, 4) 를 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할 수 있을까요?

(1) 앞에서 배웠던 대로, 직선의 방정식은 y = (기울기) * x + (y 절편) 라고 세우는 것이 가장 기초적인 표준 방법이라고 했었지요? 그런데, 기울기가 2 라고 했으니까, 우선 y = 2x + b 라고 놓을 수 있습니다.

(2) 이 직선이 (1, 4) 를 지난다고 했으니까, 점의 x 좌표인 1 과 y 좌표인 4 를 각각 직선식의 x 좌표와 y 좌표의 자리에 대입하면 만족시켜야 합니다.

(3) 이제, 직선식에 이를 대입해서 b 값을 구하면,

4 = 2 * 1 + b

b = 2

∴  y = 2x + 2

[ B ] 평행이동 y – β = m (x – α) 를 활용하는 방법 (point-slope form)

이번에는, 평행 이동의 개념을 활용해서 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해서 알아 보도록 합니다.

예를 들어, y = (1 / 2) x 와 평행하면서 점 A = (2, 3) 을 지나는 직선의 방정식을 구해 보도록 할까요?

아래의 그림에서 보듯이 두 직선은 평행하니까, 우리가 식을 구하려는 파란색의 직선은

(1) 검은색의 직선 y = (1 / 2) x 위의 원점을 잡은 다음,

(2) 빨간색 점선을 따라 점 A = (2, 3) 까지 평행이동을 시킨 것이라고 생각해도 되겠지요?

바로 이 원리를 이용하면, 아주 쉽게 파란색 직선의 방정식을 구해 낼 수 있습니다.

위에서 설명한 대로, 파란색의 직선은 검은색 직선 위의 원점 (0, 0) 을 빨간 점선을 따라, 오른쪽으로 2 만큼 그리고 동시에 위로 3 만큼 평행이동 것이니까, 검은색 직선의 식에서, x 대신에 x – 2 를, y 대신에 y – 3 을 동시에 ( ∩ ) 대입하면 됩니다.

y – 3 = (1 / 2) (x – 2)

y = (1 / 2) x – (1 / 2) * 2 + 3

∴  y = (1 / 2) x + 2

이 평행이동을 활용한 방법은 중요하니까, 문자를 써서 정리해 볼까요?

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기울기가 m 이고, 점 (α, β) 를 지나는 직선의 방정식은

y – β = m (x – α)

∴  y = m (x – α) + β 

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

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직선 y = (1 / 3) x 와 수직이면서, 점 (– 2, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라. 

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(1) 수직인 두 직선의 기울기는 서로 곱하면 – 1 이 된다는 것은 잘 알고 있겠지요? 따라서, 구하는 직선의 기울기는 – 3 이 됩니다.

(2) 이제, 기울기 = – 3 을 알아 냈고, 점 (– 2, 8) 을 지난다고 했으니까, 위에서 배운 공식을 그대로 적용하면,

y – 8 = – 3(x – (– 2))

y – 8 = – 3x + 3 * (– 2)

y  = – 3x – 6 + 8

∴  y = – 3x + 2

일차함수(2) 일차함수(y = a x + b)

일차함수(y = ax +b)

slope-intercept form : y = ax + b

"y 절편을 찍은 다음,

기울기 그리기 방법대로 하면 되요"

" plot y-intercept first,

and rise over run "

일차함수의 그래프는, 일차 비례식을 좌표평면에 나타내는 가장 기초적인 내용부터, 중학과정에서는 포물선과 직선 그리고 고등과정에서는 다항함수의 곡선과 직선의 관계까지 다양하게 응용되는 단원입니다.

문과 고등학생 중에도 직선의 그래프를 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 모습을 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등 수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

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y = 2x 의 그래프는 기울기가 2 이고 원점을 지나는 직선이라고 배웠던 것을 잘 기억하고 있겠지요? 이번에는 y = 2x + 1 의 그래프를 공부해 보도록 합시다.

지난 번과 같이, x 값에 따라 정해지는, y 값들의 순서쌍의 일부를 표로 나타내 볼까요?

x	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3
y	–6+1	–4+1	–2+1	0+1	2+1	4+1	6+1

위에서 구한 y = 2x + 1 의 순서쌍인 … (–3, –5), (–2, –3), … , (3, 7) … 들을 좌표평면에 나타내면, 아래 그림에서 보는 것과 같이 빨간색 직선 위의 점들로 표시됩니다.

따라서, y = 2x + 1을 만족하는, 무수히 많은 (x, y) 순서쌍들을 모두 표시하면 아래 그림의 빨색 직선이 됩니다. 지난 번에 배웠던 y = 2x 의 그래프와 평행이지요?

다시 살펴보면, 함수식 y = 2x + 1 의 y 값들은, y = 2x 일 때의 y 값들 보다  1 만큼씩 크니까, 위 그림에서 파란색으로 표시된 y = 2 x 라는 직선 위의 점들 보다, 모두 1 칸씩 위에 찍히게 됩니다.

즉, 빨간색의 직선 y = 2x + 1 은 y = 2x 를 위로 1 만큼 평행이동시킨 결과가 됩니다.

이제, 공부한 것을 문자를 써서 정리해 볼까요?

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일차함수 y = ax + b 의 그래프는, 원점을 지나는 직선 y = ax 의 그래프를 평행이동시키면 됩니다.

(1) b 가 양수 (+) 일 때는,   위로 b 만큼 평행이동

(2) b 가 음수 (–) 일 때는, 아래로 b 만큼 평행이동

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예를 들어, y = ax + 3 의 그래프는 원점을 지나는 직선 y = ax 를 위로 3 만큼 평행이동시키면 된다는 원리를 알아냈으니까, 쉽고 간단하게 그려낼 수 있는 방법에 대해서 조금 더 공부하도록 할까요?

직선 y = ax 를 그린 다음, 다시 위로 3 만큼 평행 이동한 y = ax + 3 의 그래프를 그리는 방법도 나쁘지는 않지만, 2 개의 직선을 그려 내야 한다는 점이 조금 불편할 수도 있겠지요?

따라서, 더 좋은 방법은, 머리 속에서 평행 이동하는 과정을 이미지로 미리 떠올려 본 다음에,

(1) 평행 이동이 완료된 후에, y 축과 만나는 점인 y 절편 (0, 3) 을 y 축 위에 찍습니다.

(2) 평행한 직선의 기울기는 똑같으니까, 앞에서 배운 [기울기 그리기 방법] 대로 새로운 점을 찾으면 되겠지요?

(3) y 절편 (0, 3) 에서 출발해서, [(분모) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자) 위 또는 아래로 몇 칸] 이동하는 방법으로 새로운 점을 표시합니다.

(4) y 절편과 새로 찾아낸 두 점을 연결하면 직선의 그래프가 완성됩니다.

두 점을 연결하는 직선은 오직 하나이니까, 여러 번 덧칠하지 말고 가급적 한 번에 그려 내면 됩니다. 쉽고 빠르게 정확한 직선을 그려내기 위해서는 부단한 연습을 해두기 바랍니다.

실제로 직선 y = (2 / 3) x + 2 를 같이 그려 보도록 할까요?

(1) 제일 먼저, y 절편인 점 (0, 2) 를 y 축 위에 찍습니다.

(2) y 절편을 찍은 점에서, 기울기를 2 / 3 = (+ 2) / (+ 3) 으로 해석하여, [(분모인) 오른쪽으로 3 칸] 움직일 때, [(분자인) 위로 2 칸] 이동한 새로운 점 (3, 4) 를 찾아냅니다.

(3) y 절편 (0, 2) 와 아래 그림에서 초록색 점선으로 표시된 방법으로 찾아낸 새로운 점 (3, 4) 를 연결하는 직선을, 여러 번 덧칠하지 말고, 가급적 한 번에 그리면 됩니다.

어느 정도 익숙해진 다음에는, 추가로 배수가 되는 점들 즉, [오른쪽으로 6칸] 갈 때, [위로 4칸] 등을, 또는 반대로 음수 (–) 를 곱해서, [왼쪽으로 6칸] 갈 때, [아래로 4칸] 등을 활용하면, 보다 쉽고 정확하게 그려낼 수 있습니다.

다시 한번 강조하지만, 분모를 자연수 (+) 로 하는 기약분수로 고치는 이유는, 왼쪽이 아니라 오른쪽을 표준으로 하기 위해서 입니다. 직선의 그래프에 완전히 익숙해 지기전까지는, 항상 [(분모인) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자인) 위 또는 아래로 몇 칸] 간다고 해석해서 그리기 바랍니다.

반드시 이렇게 해야만 하는 것은 아니지만, 기초가 부족한 학생은 처음부터 이 방법으로 숙달을 해 놓으면, 쉽고 빠르게 직선의 그래프를 그릴 수 있으니, 강력하게 추천합니다.

기울기와 y 절편에 양수 (+) 와 음수 (–) 의 여러가지 기약분수의 숫자를 대입해 보면서, 스스로 그래프를 그리는 연습을 충분하게 해두기 바랍니다.

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