연립일차방정식(4) 연립일차방정식의 응용(트랙)

연립일차방정식의 활용(트랙)

systems of linear equations word problem

- walking in the same or opposite direction

"같은방향인지 반대방향인지에 따라 식이 달라지지요"

" choose the formula depends on 'catch up' or in opposite direction "

트랙에서 같은 방향 또는 반대방향으로 도는 문제유형을 어려워하는 학생이 상당히 많습니다만,

이 유형의 문제들 역시, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등과정에서 수학을 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 영리하고 쉽게, 그림이나 다이어그램으로 도식화를 아주 잘한다는 점입니다.

[시간, 거리, 속력] 의 전형적인 연립방정식이므로 분수식 보다는, [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 분수식 계산에서의 잦은 실수를 방지할 수 있습니다. 

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법에 따라, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

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우선, 두 사람이 트랙을 같은 방향으로 돌 때와 반대 방향으로 돌 때에 따라, 거리 계산을 어떻게 해야 하는 것인지, 아래 그림을 통해 자세히 알아 보도록 할까요?

[1] 반대 방향으로 도는 경우

 

    반대방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계방향으로 걸은 빨간색 실선과 B가 시계 반대 방향으로 걸은 파란색 실선의

    합계가 호수의 둘레 길이가 된다는 것을 잘 기억해 두어야 합니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] + [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] + [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

[2] 같은 방향으로 도는 경우

 

  

    같은 방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계 반대방향으로 한 바퀴 이상 걸은 빨간색 실선과, B도 시계 반대 방향으로

    걸은 파란색 실선의 차이가 호수의 둘레 길이가 됩니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] – [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] – [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

그러면, 다음 문제를 풀면서 자세히 연구해 볼까요?

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 둘레의 길이가 3 Km 인 호수를, 형과 동생이 같은 지점에서

 동시에 출발하여, 반대방향으로 돌면 12 분 후에 처음으로

 만나고, 같은 방향으로 돌면 1 시간 후에 처음 만난다.

 형보다 느리게 걸은 동생의 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 앞에서 배운 두 종류의 그림을 그리거나,

     트랙의 이미지를 머리 속에 떠올려야 하겠지요?

(2) 문제에서 주어진 시간 단위를 통일해서 식을 세워야 하겠지요?

     따라서, 속력 단위는 문제 뜻에 적합한, 분당 몇 미터의 단위로

     통일하는 것이 좋겠지요?

(3) 문제에서 묻고 있는 동생의 속력을 x m/m 라고 놓고,

     형의 속력을 y m/m 로 놓은 다음, 위의 이미지를 생각하면서

     거리를 기준으로 [거리=속력 시간]의 곱셈 형태로

     식을 세워야지요?

(4) 반대 방향으로 돌 때는, 위 그림에서 형이 걸은 빨간색 실선과,

     오른쪽으로 동생이 걸은 파란색 실선의 합계가 호수의 둘레

     길이가 되니까,

12 × x + 12 × y = 3000

(5) 같은 방향으로 돌 때는, 위 이미지에서 형이 한 바퀴가 넘게

     걸은 빨간색 실선에서, 동생이 걸은 파란색 실선을 빼주면,

     호수의 둘레길이가 되지요?   따라서,

60 × y – 60 × x = 3000

(6) 이제, 미지수가 2개인 연립방정식을 풀면,

↱  12 × x  + 12 × y = 3000   ⋯ ①

↳  60 × y  –  60 × x = 3000   ⋯ ②

[가감법] ① Χ 5 – ② :

(12×5 + 60) x = 3000×5 – 3000

120 x = 12000

따라서,  x = 100

(7) 답  :  동생의 속력은 100 m/m

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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  둘레의 길이가 12 인 호수를 형과 동생이 같은 지점에서

  동시에 자전거를 타고 출발하여, 같은 방향으로 돌면 3시간

  후에 처음 만나고, 반대방향으로 돌면 45분 후에 처음으로

  만난다. 동생이 더 느리다고 할 때, 형의 속력을 구하여라.

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일차방정식(5) 일차방정식의 응용 (시계)

일차방정식의 응용(시계)

linear equation word problem - clock hands

"어려운 분침, 시침문제도 결국 [거리 속력 시간]의 문제예요"

" difficult clock hands problem is

also a kind of [distance speed time] formula "

초등학교부터 중학 및 고등학교에 이르기까지, 시계의 분침과 시침과 관련된 문제만 보면, 온 몸이 굳어지는 트라우마를 겪는 학생이 상당히 많을 겁니다.

(1) 10진법이 아니라 60분과 360° 단위를 쓰는 것도 어렵지만,

(2) 시간을 알아내기 위해, 거리를 속도로 나누는 분수식의 계산 구조가 계산을 아주 어렵게 만들기 때문이지요.

그러나, 기본적인 표준형문제 하나 정도를, 시각화된 다이어그램이나 그림의 이미지와 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

중고등과정에서 수학 공부를 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 그림이나 다이어그램으로 시각화하는 것을, 쉽고 영리하게 잘한다는 점입니다.

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두도록 하세요.

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(1) 우선, 시계 문제에서는 제일 먼저, 밑의 그림을 그리거나, 이미지를 머리 속에 떠올리는 것이 좋습니다.

(2) 초록색 분침은 1시간(=60분)에, 초록색 점선이 움직인 거리만큼인 1 바퀴(=360°)를 돕니다. 따라서, 1분에는 ( 360° / 60분 ) = 6°를 움직이구요,

(3) 위 그림에서 보면, 빨간색 시침은 1시간(=60분)에, 빨간색 점선이 움직인 거리만큼인 1/12 바퀴(=(360°/12) = 30°)를 돌지요? 즉, 1분에는 30° / 60분 = 0.5°를 움직입니다.

(4) 따라서 시계 문제를 해결하기 전에, 시침과 분침의 속력을 기억해 내거나 미리 확인해 두고 시작하는 것이 좋습니다. 시계 문제에서, 거리=360°라고 간주한다면, (a) 분침의 속력은 1시간당 360°/h 또는 1분당 6°/m, (b) 시침의 속력은 1시간당 30°/h 또는 1분당 0.5°/m가 되겠지요?

(5) 이제 이러한 유형의 문제에서, 주어진 조건에 따라 식을 세울 때는 <시간=거리÷속력> 또는 <속력=거리÷시간>와 같은 분수형태 즉, 나눗셈의 방정식보다는 정방정식 곱셈의 형태인 [거리 = 속력 * 시간]으로 식을 세워야 계산이 쉬워집니다.

자, 이제 문제를 해결해 볼까요?

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 3시와 4시 사이에 시침과 분침이 일치하는 시각을 구하여라.

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(1) 우선, 시계 이미지를 떠올려야 하겠지요?

(2) 그리고, 구하는 것을 x 로 놓는 것이 좋겠지요?
시침과 분침이 일치하는 시각을 3시 x 분이라고 놓고, [거리 = 속력 Χ 시간]의 식을 세웁니다.

(3) 시침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
시침은 숫자 3 부터 출발해서, 빨간색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지, 시침이 x 분 동안 움직인 거리 = 0.5° * x

(4) 그럼, 분침이 움직인 거리(각도)는 얼마일까요?
분침은 숫자 12 부터 출발해서 파란색 점선만큼 움직였으니까, 3시 x 분까지는 분침이 x 분 동안 움직인 거리 = 6° * x

(5) 이제, [3시에 해당하는 거리 + 시침이 x 분 동안 움직인 거리]와 [분침이 x 분 동안 움직인 거리]가 서로 같으니까, 식을 세워 풀면

90° + 0.5° * x = 6° * x

90° = 5.5° * x

x = 90 / 5.5 = 180 / 11

따라서, 답은 3시 (180/11)분

일차방정식(2) 일차방정식의 응용 (소금물)

일차방정식의 응용 (소금물 농도)

linear equation word problem - salt water solution

"소금의 양과 물의 양을 따로 또 같이~"

" separate & add the amount of salt and the amount of water "

초등부터 배웠어도 항상 어려운 또 하나의 유형이, 소금물 농도의 문제입니다.

(1) 소금의 양을 소금물의 양으로 나누는 분수식의 계산 구조가 어렵게 느껴질 뿐만 아니라,

(2) 서로 다른 소금물의 두 농도의 평균만 단순하게 계산하면, 합해진 소금물의 농도가 된다는 착각 때문이지요.

이 유형 역시, 기본적인 표준형문제 하나 정도를, 시각화된 다이어그램이나 그림의 이미지와 함께 이해하고 기억해 두고, 분수식이 아닌 정방정식으로 식을 세우는 요령만 알면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등수학에서도 용매와 용질의 농도라는 일반화된 유형으로, 문제가 결합되어 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

중고등과정에서 수학 공부를 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 그림이나 다이어그램으로 시각화하는 것을, 쉽고 영리하게 잘한다는 점입니다.

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두도록 하세요.

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(1) 우선, 소금물 농도 문제도 제일 먼저, 아래의 그림을 그리거나,
      이 이미지를 머리 속에 떠올려야 합니다.

              A                    B                 A+B

              A 소금의 양       +        B 소금의 양       =     (A+B) 소금의 양

(2) 그리고, [농도 = 소금 ÷ 소금물] 의 나눗셈 분수식이 아니라, 위의 그림에서 붉은 색으로 표시된 소금의 양을 기준으로, [소금의 양 = 소금물 * 농도] 라는 정방정식의 곱셈형태로 식을 세워야 편리합니다.

(3) 또, 아래의 표와 같이 소금물은 항상 [소금+물]로 나누어 생각해야, 정확하게 식을 세우기가 쉽고, [소금의 양 = (소금+물) Χ 농도] 라고 식을 기억해 두어야 문제풀이가 쉬워집니다.

A 소금의 양	B 소금의 양	(A+B) 소금의 양
A 물의 양	B 물의 양	(A+B) 물의 양
A 소금물의 양	B 소금물의 양	(A+B) 소금물의 양

(4) 일반적으로, 농도는 백분율(%) 단위로 나타내니까, 합쳐진 소금물의 농도는
      [소금A + 소금B] ÷ [소금A + 물A + 소금B + 물B] * 100 이 됩니다.

자, 이제 문제를 풀어 볼까요?

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 12%의 소금물 100 g과 8%의 소금물 200 g 을

 합하였을 때, 전체 소금물의 농도를 구하여라.

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(1) 우선, 그림이나 이미지를 떠올려야 하겠지요?

      A소금의 양 + B소금의 양  = (A+B)소금의 양

(2) 합친 소금물의 농도를 구하는 문제이니까, 우선 그 농도를 x % 라고 놓아야겠지요?

(3) 소금물 100 g 안의 소금의 양은 얼마일까요?

100g * 12% = 12g

(4) 그럼, 소금물 100 g 안의 소금의 양은 얼마일까요?

200g * 8% = 16g

(5) 합한 소금물의 양은 100 + 200 = 300 g 이지요?

      따라서, 합친 소금물 안의 소금의 양은 300 g * x %

(6) 이제, 소금의 양은 서로 같아야 하니까, 식을 세우면,

100g * 12% + 200g * 8% = 300g * x%

x = (12 + 16) / 3 ~ 9.3

       

따라서, 답은 9.3%

위의 (4)에서 그냥 공식 대입해서 (12 + 16) / (100 + 200) * 100 이라고 풀지 말고,

반드시 (5), (6) 과 같이 x 에 관한 방정식을 다시 생각해서 세워야,

변형된 문제에 대한 응용력이 좋아집니다.

다시 한번 강조하지만, 반드시 그림이나 다이어그램 이미지를 떠올리고, 그 이미지의 개념을 식으로 옮긴다는 생각으로 x 에 관한 방정식을 세우기 바랍니다.

이런 방법에 익숙해져야 수학실력이 제대로 늘고, 복잡하게 변형시킨 심화문제도 쉽게 풀어낼 수 있습니다.

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 10%의 소금물 100g 을 가열하여 물 50g 을 증발시킨 후에,

 차가운 5%의 소금물 200g 을 추가로 부어 넣었다.

 이 때, 남아 있는 전체 소금물의 농도를 구하여라.

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