함수그래프(3) 함수그래프의 대칭이동(1)

함수그래프의 대칭이동(1)

reflecting function graphs(1)

"그래프를 뒤집어보고 그려보면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"

" Try flipping & drawing the graph to find out

the principle of symmetric movement "

함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이번에는 이차함수의 포물선 그래프를 이용해서, 대칭이동에 대해서 쉽고 자세하게 설명하고자 합니다.

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앞에서 배웠던 이차함수 포물선의 그래프를 기억하고 있겠지요?

우선, y = (x – 3)² 의 그래프를 가지고, 여러 가지 종류의 대칭이동 그래프들과 함수식을 구하는 방법을 공부해 보도록 합시다.

[ 1 ] x 축 대칭이동

지난번에, [점의 대칭이동]에서 배웠던 것들 중에서, 우선 x 축에 대칭인 함수의 그래프는 청개구리의 성질과 같이, y 대신에 – y 를 대입한다고 했었지요?

대입하면, 포물선의 식이 – y = (x – 3)² 이 될 테니까, 이를 정리하면

y = – (x – 3)² 이 됩니다.

아래의 그림에서 파란색의 포물선인 y = (x – 3)² 과 빨간색의 포물선인

y = – (x – 3)² 의 두 그래프를 보니까, 진짜로 x 축에 대칭이지요?

[ 2 ] y 축 대칭이동

또, [점의 대칭이동]에서 배웠던 것과 같이, y 축에 대칭인 함수의 그래프는 청개구리의 성질에 따라, x 대신에 – x 를 대입한다고 했었지요?

따라서, 포물선의 식이 y = (– x – 3)² 이 될 테니까, 이를 다시 정리하면, y = (x + 3)² 이 됩니다.

이번에도 두 그래프를 그려보면, 아래 그림에서 파란색인 y = (x – 3)² 과

빨간색인 y = (x + 3)² 의 두 포물선은, 진짜로 y 축에 대칭이지요?

[ 3 ] 원점에 대칭이동

또, 원점인 (0, 0) 에 대칭이라는 것은, x 축에 대칭 그리고 동시에 (∩)

y 축에 대칭인 것과 동일하다고 했었지요?

따라서, x 대신에 – x 그리고 동시에 (∩) y 대신에 – y 를 대입하면

포물선의 식이 – y = (– x – 3)² 이므로, 이를 다시 정리하면

y = – (x + 3)² 이 됩니다.

이번에도 두 그래프를 그려보면, 아래 그림에서 파란색인 y = (x – 3)² 과

빨간색인 y = – (x + 3)² 의 두 포물선은, 진짜로 원점에 대칭이지요?

[ 4 ] y = x 직선에 대칭이동

앞의 [점의 대칭이동]에서 배웠던 것과 같이, y = x 라는 직선에 대칭인 함수의 그래프는, x 대신에 y 그리고 동시에 (∩) y 대신에 x 를 대입한다고 했었지요?

따라서, 포물선의 식이 x = (y – 3)² 이 될 테니까, 이를 y 에 관하여 다시 정리하면,

y – 3 =  ± √x 

y =  ± √x + 3

이번에도, 아래 그림에서 빨간색인 반쪽의 포물선 y = + √x + 3 과

초록색인 반쪽의 포물선 y = – √x + 3 을 합치면,

파란색인 y = (x – 3)² 과 진짜로 y = x 라는 직선에 대하여 대칭이지요?

뿐만 아니라, x 대신에 y 그리고 y 대신에 x 를 대입한 함수의 방정식은, 바로 역함수가 되기 때문에 매우 중요합니다.

즉, 함수와 역함수의 그래프는 항상 y = x 라는 직선에 대하여 대칭된다는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.

심화 유형에서 자주 등장하는 함수와 역함수의 교점을 구하는 문제들은, 일반적인 방정식으로는 풀어 내기가 매우 어렵기 때문에, (i) 함수와 y = x 라는 직선과의 교점 또는 (ii) 역함수와 y = x 라는 직선과의 교점으로 구하는 것이 쉽고 편리합니다.

[ 4 ] y = – x 직선에 대칭이동

y = – x 라는 직선에 대칭인 함수의 그래프는, x 대신에 – y 그리고 동시에 (∩) y 대신에 – x 를 대입하면 됩니다.

대입하면, 포물선의 식이 – x = (– y – 3)² 이 될 테니까, 이를 y 에 관하여 다시 정리하면,

– x = (y + 3)² 

y + 3 =  ± √(– x )

y =  ± √(– x ) – 3

루트기호 안에 음수( – )로 표시되어서 어렵게 느껴지지요?

고등수학의 [무리함수의 그래프]에서 배우게 되니, 이 내용을 아직 배우지 않은 학생들은 우선, 그래프가 그려진 결과만 보아도 됩니다.

이번에도, 아래 그림에서 빨간색인 반쪽의 포물선 y = + √(– x ) – 3 과

초록색인 반쪽의 포물선 y = – √(– x ) – 3 을 합치면,

파란색인 y = (x – 3)² 과 진짜로 y = – x 라는 직선에 대하여 대칭이지요?

이제, 더 어려운 심화 수준의, 일반적인 점에 대한 점대칭과 직선에 대한 선대칭은, 다음 시간에 공부하도록 합니다.

대칭이동(2) 점의 대칭이동

점의 대칭이동

reflecting point graph

"선대칭과 점대칭의 두가지가 있어요"

" reflecting a point across a line or another point "

평행이동과 대칭이동은 주어진 방정식이나 부등식을 그래프로 자유자재로 해석하고 응용할 수 있는 기본적인 수학 해석능력의 가장 기초가 되는 개념입니다.

기초적인 개념과 원리부터 확실하게 이해하고 다양하게 응용력을 키워두기 바랍니다.

선이나 점에 대한 대칭이동은, 평행이동과 달리, 함수식의 그래프나 점의 이동의 원리가 동일합니다.

따라서, 이해하기 쉽도록, 우선 점의 이동으로 원리를 설명하고,

그 대칭이동의 원리가 적용되는 결과를, 뒤의 단원에서 함수 방정식의 그래프로 예를 들면서 살펴보도록 하지요.

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I 사분면 위의 한 점 P = (3, 2) 를  x 축,  y 축 그리고 원점에 대해 대칭 이동시킨 새로운 점들의 좌표는 어떻게 될까요?

아래의 그래프를 볼까요?

(1) 먼저, 빨간색 점선을 따라 x 축 대칭인 점 Q 의 좌표는 어떻게 될까요?

     x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까

       Q = (3, – 2) 이지요?

(2) 파란색 점선을 따라 y 축 대칭인 점 R 은, y 좌표는 그대로인데

      x 좌표만 부호가 반대가 되니까 R = (– 3, 2)

(3) 초록색 점선을 따라 원점 대칭인 점 S 는 x 좌표, y 좌표의 부호가

      모두 반대가 되니까 S = (– 3, – 2)가 됩니다.

      특히, 원점 대칭은 [x축 대칭] 그리고 동시에 (∩) [y축 대칭]의 교집합 개념이지요.

(4) 이번에는 점 R = (– 3, 2)을 기준으로, 검은색 점선을 따라 x 축 대칭인 점 S 를 볼까요?

      x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까,  S = (– 3, – 2)가 되지요?

위 그림의 P, Q, R, S 중 하나를 기준으로 잡고 x 축이나 y 축 또는 원점에 대칭인 점을 실제로 구해 보면서, 일반적인 규칙을 스스로 찾아 보기 바랍니다.

자 그럼 이제, 찾아낸 것을 문자를 써서, 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b)에 대하여,

 (1) x 축에 대칭인 점의 좌표는 b 대신에 – b 를 대입한 (a, – b)

 (2) y 축에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 대입한 (– a, b)

 (3) 원점에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 그리고 동시에

       (∩) b 대신에 – b 를 대입한 (– a, – b)

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이번에는 점 P = (a, b) 를 직선에 대해 대칭이동시킨 새로운 점의 좌표는 어떻게 될까요? 아래의 그래프를 보며, x = 3 이라는 직선에 대칭시킨 점 Q 를 살펴 볼까요?

(1) y 좌표는 그대로 인데, 위 그림에서 빨간색 점선의 길이가 되는

     x = 3 * 2 = 6 이라는 직선으로부터 a 만큼 왼쪽에 있으니까,

      x 좌표는 6 – a 가 되겠죠?  따라서, Q = ( 6 – a , b )

이번에는, 점 R = (c, d) 를 아래 그림에서 보는 것과 같이, y = 2 라는 직선에 대칭시킨 점 S 를 알아 볼까요?

(2) x 좌표는 그대로 인데, y 좌표는 아래 그림에서 보이는 빨간색

    점선의 길이인 d 만큼 y = 2 * 2 = 4 라는 직선으로부터 아래쪽에

    있으니까, 4 – d 가 되겠죠?   따라서, S = ( c , 4 – d )

만일, 점 P = (a, b)를 점 (3, 2) 에 대하여 대칭이동시키면, 새로운 점 T 의 좌표는 어떻게 될까요?

앞에서, 점 (3, 2)에 대한 대칭이동은, x = 3 이라는 직선에 대해 대칭이동 그리고 동시에

  y = 2 라는 직선에 대칭시킨 교집합의 개념이라는 것을 배웠지요?

(3) 따라서, x 좌표는 6 – a 가 되고, y 좌표는 4 – b 가 되니까,

      새로운 점  T = ( 6 – a, 4 – b )

이제, 공부한 원리를 문자로 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b)에 대하여,

 (1) 직선 x = α 에 대칭 시킨 점의 좌표는,

       a 대신에 2α – a 를 대입한 ( 2α – a , b )

 (2) 직선 y = β 에 대칭 시킨 점의 좌표는,

       b 대신에 2β – b 를 대입한 ( a , 2β – b )

 (3) 점 (α, β)에 대칭 시킨 점의 좌표는, a 대신에 2α – a 를,

       그리고 b 대신에 2β – b 를 대입한 ( 2α – a , 2β – b )

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마지막으로 y = x 라는 직선에 대칭인 경우를 살펴 볼까요?

위의 그림에서 보는 것과 같이, 점 A 와 B 는 초록색 점선의 길이가 같으니까, 서로 x 좌표와 y 좌표를 서로 맞바꾸면 되겠지요?

따라서, 점 A = (a, b)이라면, 점 B = (b, a)가 되고, 이 원리는 함수와 역함수의 그래프에서도 그대로 적용이 되니까, 정확하게 이해하고 암기해 두어야 합니다.

이제, 마지막으로 공부한 원리도 문자로 일반화해 볼까요?

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 점 (a, b) 에 대하여, y = x 라는 직선에 대칭 시킨 점의 좌표는,

  a 대신에 b, 그리고 b 대신에 a 를 대입한 (b, a)

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그러면 기본개념을 이해했는지 확인하기 위해서, 다음 문제들을 한번 풀어 볼까요?

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 점 (a, b) 를 직선 y = x 에 대칭시킨 후,

 다시 y 축에 대칭시켰더니, (– 2, 5)가 되었다고

 할 때, a, b 의 값을 구하여라.

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 점 (a, b) 를 오른쪽으로 3, 아래쪽으로 2 만큼 옮긴 후,

 직선 y = x 에 대칭시켰더니, (a – 5, b – 3)이 되었다.

  a, b 의 값을 구하여라.

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