절대값을 포함한 식
absolute value equations
"기본적으로 절대값 식은
구간을 나누어 풀어야 되요"
" to take the absolute bars off
you have to split into cases, as needed. "
절대값이 포함된 식의 계산은, 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 혹은 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산해야 하는 종합적 사고를 요하는 유형으로, 중고등 과정 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.
기본적으로, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.
특히, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.
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절대값 | a | 는 a 값의 부호에 관계없이 항상 양수(+)의 값으로 나타내라는 약속입니다.
예를 들면, | 3 | = 3 이고, | – 5 | = 5 라고 합니다. 또한 | 0 | = 0 이 됩니다.
a < 0 일 때, 절대값 | – a | 를 풀어라.
(2) 그런데, – a = k > 0 이니까,
(3) 따라서, | – a | = – a 가 되지요.
기하적으로, 숫자의 절대값은 '수직선 상의 원점으로부터 그 숫자까지의 거리' 라고 정의되기도 합니다.
만일 문자나 식의 절대값을 구하는 경우에는, 경우를 나누어서 풀어야 합니다. 따라서, 위에서 보았던 절대값 | a | 는, 절대값안의 문자가 양 (+) 일 때와 음 (–) 일 때로 나누어서,
| a | = a if a ≥ 0
| a | = – a if a < 0
이제 그러면, 절대값 일차식인 | x – 5 | 를 풀어 볼까요?
절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로, 두 가지 경우로 나누어 풀어야 하겠지요? 아래와 같이 나란히 2 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.
(A) x < 5 일 때
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(B) x ≥ 5 일 때
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– x + 5
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x – 5
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이번에는, | x – 5 | – | x + 1 | 을 풀어 볼까요?
이번에는 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 –1 과 5 를 기준으로, 세 구간으로 나누어야 하겠지요? 이번에도, 나란히 3 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.
(A) x < – 1 일 때
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(B) –1 ≤ x < 5일 때
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(C) x ≥ 5 일 때
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–x + 5 – (– x – 1)
= 6
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– x + 5 – (x + 1)
= – 2x + 4
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x – 5 – (x + 1)
= – 6
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이제, 조금 다른 절대값 기본식의 유형을 살펴 보도록 합시다.
| x | = 2 는 어떻게 풀어야 할까요?
(1) 위에서 공부했던 방법대로, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 두 가지 경우로 나누어 풀어야 하겠지요? 아래와 같이 나란히 2 단으로 나열해서 푸는 것이 표준적인 방법입니다.
(A) x < 0 일 때
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(B) x ≥ 0 일 때
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– x = 2
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x = 2
|
따라서, x = 2 또는 – 2.
(2) 그러나, 절대값 하나와 숫자만 있는 경우에는, 좀 더 간편하게
① 절대값의 성질을 이용한다면, x 는 음수(–) 나 양수(+) 로서 크기가 2 인 숫자이므로, 간단하게 2 또는 – 2 라고 하거나,
(3) 또는 | x | = | x – 0 | 라고 생각해서,
② 수직선 (number line) 에서의 거리라는 개념으로 보면, 원점인 0 으로부터의 거리가2 인 점이므로, 직관적으로 2 또는 – 2 라고 할 수가 있습니다.
공부한 이 내용을 일반화해서 문자로 정리해 볼까요? 앞으로는 공식으로 정리하고 외워 두기 바랍니다.
한 변에 절대값 하나와 다른 한 변에 숫자만 있는 절대값 일차방정식
즉, | x | = a ( > 0) 는 굳이 구간을 나누어서 풀지 않고
간단하게 x = a 또는 – a 라고 답을 구하는 것이 보다 편리하다.
그러면, 마지막으로 연습문제를 하나 풀어 보도록 하지요.
a < 0 일 때, 절대값 | – a | 를 풀어라.
(1) 혼동이 되어 어렵다면, – a = k 라고 치환해 볼까요?
| – a | = | k |
(2) 그런데, – a = k > 0 이니까,
| – a | = | k | = k = – a
(3) 따라서, | – a | = – a 가 되지요.
