연립일차부등식(5) 연립일차부등식의 활용

연립일차부등식의 활용

systems of linear inequalities word problem - catch up

"부등식을 세운 다음에는 그래프나 다이어그램으로 해결해 보세요"

" try to visualize your strategy after translating into inequalities "

  

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선 (number line) 이나 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프나 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀 두어야 합니다.

부등식 해의 정확한 구간이라는 것이 다른 표현으로는 바로 최대값 및 최소값 문제이므로, 부등식의 영역과 함수 그래프의 개념으로 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 정수해의 개수를 구하는 문제 유형을 보도록 할까요?

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  아래의 연립 일차부등식의 해가 2 개의 정수만을 포함하도록 상수 a 의 값의 범위를

  구하여라.

            ↱   – 2x + 1 > – x – 3

            ↳   2x + a – 1 ≤ 3x + 1

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(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 서로 다른 두 부등식을 구분할 수 있도록 각각 번호를 붙입니다.

x < 4       ⋯ ①

x ≥ a – 2  ⋯ ②

(2) 두 부등식 중에서, 미지수가 없는 x < 4 의 구간을 먼저 수직선 (number line) 에 나타냅니다. 아래 그림에서 파란색 구간으로 표시한 것과 같이, 등호가 없으니까 큼직하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시한다고 했지요?

(3) 그 다음에, 미지수가 포함된 x ≥ a – 2 의 구간을, 문제의 조건에 맞게 2 개의 정수만 포함되도록, 높이를 다르게 해서 그려 넣습니다.

위 그림의 빨간색 구간은 등호가 있으니까, 속이 채워진 동그라미로 표시해야 하겠지요? 만일, 조금 어렵게 느껴진다면, (a – 2) = k 로 치환해도 좋습니다.

(4) 문제에서 정수의 개수가 2 개라고 했으니까, 위 그림에서 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 2 와 3 이 보라색의 공통구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내면 됩니다.

(5) 만일 정확한 판단이 어렵게 느껴진다면, 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 1 또는 2 위에 아예 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

1 < (a – 2) = k ≤ 2

∴  3 < a ≤ 4

이번에는 그래프를 이용하는, 조금 다른 유형의 따라잡기 문제를 풀어 보도록 할까요?

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   30 분 전에 시속 50 km/h 의 오토바이를 타고 도망간 범인을, 경찰이 순찰차로

   그 뒤를 쫓기 시작하였다. 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 최소한 얼마 이상의

   속력으로 달려야 하는가?

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(1) 우선, 문제에서 묻고 있는 경찰차의 속력을 x km/h 라고 놓고, 시간 단위를 통일

     시켜야 합니다. 또한, 가급적 분수식 보다는 [속력 × 시간 = 거리] 의 곱셈 형태가

     좋다고 지난번에 배웠지요?

(2) 이제, 경찰차가 달린 시간을 1 시간 이라고 놓고, 부등식을 세워 보도록 할까요?

경찰차가 달린 거리 = x km/h × 1 시간

범인이 달린 거리 = 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

(3) 따라서, 경찰이 범인을 검거할 수 있으려면, 아래의 계산 결과와 같이

     경찰차의 최소 속력은 75 km/h.

x km/h × 1시간 ≥ 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

∴  x ≥ 75

이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 일반적인 그래프로 나타내기 위해서는, 경찰차가 달린 시간을 t 라고 놓은 다음,

     정의역인 가로축으로 정하고, 경찰차와 범인이 달린 거리를 함수인 y 축으로

     놓는 것이 좋습니다.

(2) 범인이 달린 거리는 y = f (t) = 50 × (t + 0.5) 이고, 경찰차가 달린 거리는

     y = g (t) = x × t 가 되니까,

f (t) = 50 × (t + 0.5) ≤ x × t = g (t)

(3) 위 부등식의 좌변과 우변을, 한 좌표평면에 직선의 그래프로 나타내 볼까요?

(4) 범인은 30분 전에 50 km/h의 속력으로 도주하였으니까 위 그래프에서 빨간색의 직선으로, 경찰차는 추격하는 속력을 구하는 것이니까 파란색의 실선 또는 점선으로 나타낼 수 있겠지요?

(5) 이제, 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 위 그래프의 노란색 으로 표시된 영역 안에서 경찰차인 파란색의 실선 혹은 점선이 범인인 빨간색 실선과 만나거나 그 위에 있어야 하겠지요?

(6) 따라서, 경찰차가 달려야 하는 최소한의 속력은, 그래프에서 파란색의 실선인 경우가 됩니다. 즉, 함수식에 (1, 75) 를 대입하면 경찰차의 최소한의 속력이 구해집니다.

y = g (t) = x × t

75 = 1 × t

∴  x = 75 km/h

기초 단계에서는, 좌표평면에서 그래프나 부등식의 영역으로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록 더욱 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.

일차부등식(6) 절대값 일차부등식(1)

절대값 일차부등식(1)

absolute value inequalities

"그래프를 활용하니까 절대값 부등식도

이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"

" function graph makes it easier

to solve absolute value inequalities "

절대값이 포함된 부등식도, 절대값 방정식의 경우와 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 표준적인 방법이지만,

기본형의 경우에는, 그래프를 이용해서 원리를 이해한 다음에, 필요할 때 그 이미지만 머리속에 떠올린다면 마치 항상 외워두고 있는 것같이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.

특히, 이 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정과 원리을 확실하게 이해해 두어야 합니다.

이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.

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절대값 부등식 | x | < 3 을 풀어 보도록 할까요?

절대값 방정식과 함수에서 배운 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x < 3 ∴  (P)  – 3 < x	(Q)  x < 3

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

∴  (– 3 < x < 0) ∪ (0 ≤ x < 3)

∴  – 3 < x < 3

앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념입니다. 다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.

http://jaymathbee.blogspot.kr

이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | < 3 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 3

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 3 보다 작다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 3 의 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.

∴  – 3 < x < 3

이번에는 다른 유형의 절대값 부등식 | x | ≥ 2 을 풀어 보도록 할까요?

이번에도, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x ≥ 2	x ≥ 2

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

(x ≤ – 2) ∪ ( x ≥ 2)

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | ≥ 2 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 2

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 2 보다 크거나 같다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 2 의 양 끝 경계선은 포함됩니다.

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

참고로, 위의 (1) 에서 좌변과 우변의 그래프를 결정할 때, 일반적으로 많이 쓰이는 방법입니다. 부등식을 | x | – 2 ≥ 0 의 형태로 즉, 우변을 0 으로 바꾸어 줌으로써, 함수 그래프와 x 축만의 관계로 해결하는 것이 보다 편리합니다.

y = f (x) = | x | – 2   vs.   y = g (x) = 0

(1) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | – 2 가 빨간색으로 표시된 x 축 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(2) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽으면, x = 2 와 x = – 2 인 경계선이 포함되니까,

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

지금의 예와 같이, 절대값 하나와 숫자만 있는 기본형의 경우에는, 그 결과를 정리하고 기억해 두면 아주 편리합니다. 문자로 일반화해서 정리해 둘까요?

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a, b 가 양수 (+) 일 때, 절대값 일차부등식의 해는

| x | < a         ☞          – a < x < a

| x | ≤ a         ☞          – a ≤ x ≤ a

| x | > b    ☞    x < – b   or   x > b

| x | ≥ b    ☞    x ≤ – b   or   x ≥ b

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이제, 이 기본형 절대값 부등식의 해결원리를 그래프의 이미지와 함께 잘 기억해 두면,

| x – 2 | ≥ 3 과 같이 변형된 문제 유형도 쉽게 해결할 수 있습니다.

x – 2 = k 로 간단하게 치환하기만 하면, | k | ≥ 3 가 되니까, 위에서 정리했던 결과를 그대로 적용하면 됩니다.

k ≤ – 3  or  k ≥ 3

∴ x – 2 ≤ – 3  or  x – 2 ≥ 3

따라서, 답은  x ≤ – 1  또는  x ≥ 5

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