함수그래프(1) 함수그래프의 평행이동

함수그래프의 대칭이동(1)

shifting function graphs(1)

"그래프를 움직여 가면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"

" Try to move the graphs to find out

the principle of parallel movement "

함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고, 이해하기 쉽도록, 간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아볼까요?

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앞에서, y = | x – 2 | 의 그래프를 그려 봤지요? 다시 설명하면,

(1) 붉은색 영역(x < 2) 에는 y = – x + 2 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(x ≥ 2) 에는 y = x – 2 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합집합의 개념으로 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.

이번에는 y – 3 = | x |

다시 정리해서, y = | x | + 3의 그래프를 그려 볼까요?

(1) 붉은색 영역(x < 0) 에는 y = – x + 3 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(x ≥ 0) 에는 y = x + 3 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.

이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2 | 와  y = | x | + 3, 그리고  y = | x |의 그래프를 한 좌표평면에 함께 나타내 볼까요?

똑같이 합동인 그래프들이 상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리해 보면,

(1) y = | x | 의 그래프를 기준으로 볼 때, x 대신에 x – 2 를 대입한

     빨간색  y = | x – 2 | 의 그래프는 오른쪽으로 2 만큼 평행이동

(2) y = | x | 를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 3 을 대입한 y – 3 = | x |

     즉, 파란색  y = | x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3 만큼 평행이동

(3) 이번에는,  y = | x – 2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x + 2 를 대입한

      y = | x + 2 – 2 | = | x | 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동

(4) 또,  y = | x | + 3 을 기준으로 본다면, y 대신에 y + 3 을 대입한 y + 3 = | x | + 3

     즉,  y = | x | 의 그래프는 아래쪽으로 3 만큼 평행이동

마치 청개구리 같이 반대로 움직이지요?

나중에, [함수와 그래프의 변환]이라는 과목에서 설명하겠지만, 점과 그래프 그리고 축의 상대적인 이동이라는 심화개념까지 그래프의 이동을 종합적이고 체계적으로 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

위에서 배운 평행이동의 원리를 식으로 정리해 볼까요?

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 y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x – α 를 대입한 y = f (x – α)의 그래프는

      y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x)

      즉, y = f (x) + β 의 그래프는

      y = f (x)의 그래프를 위쪽으로 β 만큼 평행이동

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이 청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대축소 변환에서도 그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.

이번에는 꺼꾸로, 그래프를 보고 식을 찾아내 볼까요?

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 밑의 그림에서 그래프의 함수식이  y = | x – b | + a 라 할 때,

 상수 a, b 의 값을 구하여라.

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일차부등식(6) 절대값 일차부등식(1)

절대값 일차부등식(1)

absolute value inequalities

"그래프를 활용하니까 절대값 부등식도

이해가 너무 쉽고 잘 외워져요"

" function graph makes it easier

to solve absolute value inequalities "

절대값이 포함된 부등식도, 절대값 방정식의 경우와 같이 절대값 안의 값이 양 (+) 인지 음 (–) 인지에 따라, 경우를 나누어 계산하는 것이 표준적인 방법이지만,

기본형의 경우에는, 그래프를 이용해서 원리를 이해한 다음에, 필요할 때 그 이미지만 머리속에 떠올린다면 마치 항상 외워두고 있는 것같이 아주 쉽게 문제를 해결할 수 있습니다.

특히, 이 방법은 이차 또는 고차부등식에서 그대로 활용할 수 있는 개념이므로, 해결과정과 원리을 확실하게 이해해 두어야 합니다.

이 단원 역시 매우 중요한 내용이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀두시기 바랍니다.

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절대값 부등식 | x | < 3 을 풀어 보도록 할까요?

절대값 방정식과 함수에서 배운 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x < 3 ∴  (P)  – 3 < x	(Q)  x < 3

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

∴  (– 3 < x < 0) ∪ (0 ≤ x < 3)

∴  – 3 < x < 3

앞의 [절대값 일차방정식] 단원에서 배웠던, 논리 다이어그램으로 보면,

(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념입니다. 다시 복습이 필요한 분은 아래의 링크를 참고하세요.

http://jaymathbee.blogspot.kr

이번에는 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | < 3 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 3

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 3 보다 작다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 3 의 양 끝 경계선은 포함되지 않는다는 점에 주의하세요.

∴  – 3 < x < 3

이번에는 다른 유형의 절대값 부등식 | x | ≥ 2 을 풀어 보도록 할까요?

이번에도, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 0 을 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙입니다.

(A) x < 0 일 때	(B) x ≥ 0 일 때
– x ≥ 2	x ≥ 2

논리 다이어그램으로 보면, (A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) 의 개념이니까,

(x ≤ – 2) ∪ ( x ≥ 2)

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

이번에도 똑같은 문제를 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 부등식 | x | ≥ 2 의 좌변과 우변을 각각의 함수로 간주해서 아래와 같이 좌표평면에 그래프로 나타냅니다.

y = f (x) = | x |   vs.   y = g (x) = 2

(2) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | 가 빨간색의 직선인 y = g (x) = 2 보다 크거나 같다고 했으니까, 위에 있는 노란색의 영역을 찾아 냅니다.

(3) x 에 관한 부등식을 푸는 것이니까, 부등식의 영역도 x 값을 기준으로 좌표평면에 표시하도록 합니다. x = ± 2 의 양 끝 경계선은 포함됩니다.

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

참고로, 위의 (1) 에서 좌변과 우변의 그래프를 결정할 때, 일반적으로 많이 쓰이는 방법입니다. 부등식을 | x | – 2 ≥ 0 의 형태로 즉, 우변을 0 으로 바꾸어 줌으로써, 함수 그래프와 x 축만의 관계로 해결하는 것이 보다 편리합니다.

y = f (x) = | x | – 2   vs.   y = g (x) = 0

(1) 위의 그래프를 보고, 파란색의 직선인 y = f (x) = | x | – 2 가 빨간색으로 표시된 x 축 보다 크거나 같다고 했으니까, 위 그림에 있는 노란색의 영역을 찾는다.

(2) x 에 관한 부등식이니까, 찾은 노란색의 영역을 x 축에 대해서 x 기준으로만 읽으면, x = 2 와 x = – 2 인 경계선이 포함되니까,

∴ x ≤ – 2  or  x ≥ 2

지금의 예와 같이, 절대값 하나와 숫자만 있는 기본형의 경우에는, 그 결과를 정리하고 기억해 두면 아주 편리합니다. 문자로 일반화해서 정리해 둘까요?

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a, b 가 양수 (+) 일 때, 절대값 일차부등식의 해는

| x | < a         ☞          – a < x < a

| x | ≤ a         ☞          – a ≤ x ≤ a

| x | > b    ☞    x < – b   or   x > b

| x | ≥ b    ☞    x ≤ – b   or   x ≥ b

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이제, 이 기본형 절대값 부등식의 해결원리를 그래프의 이미지와 함께 잘 기억해 두면,

| x – 2 | ≥ 3 과 같이 변형된 문제 유형도 쉽게 해결할 수 있습니다.

x – 2 = k 로 간단하게 치환하기만 하면, | k | ≥ 3 가 되니까, 위에서 정리했던 결과를 그대로 적용하면 됩니다.

k ≤ – 3  or  k ≥ 3

∴ x – 2 ≤ – 3  or  x – 2 ≥ 3

따라서, 답은  x ≤ – 1  또는  x ≥ 5

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