연립일차방정식(4) 연립일차방정식의 응용(트랙)

연립일차방정식의 활용(트랙)

systems of linear equations word problem

- walking in the same or opposite direction

"같은방향인지 반대방향인지에 따라 식이 달라지지요"

" choose the formula depends on 'catch up' or in opposite direction "

트랙에서 같은 방향 또는 반대방향으로 도는 문제유형을 어려워하는 학생이 상당히 많습니다만,

이 유형의 문제들 역시, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등과정에서 수학을 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 영리하고 쉽게, 그림이나 다이어그램으로 도식화를 아주 잘한다는 점입니다.

[시간, 거리, 속력] 의 전형적인 연립방정식이므로 분수식 보다는, [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 분수식 계산에서의 잦은 실수를 방지할 수 있습니다. 

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법에 따라, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

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우선, 두 사람이 트랙을 같은 방향으로 돌 때와 반대 방향으로 돌 때에 따라, 거리 계산을 어떻게 해야 하는 것인지, 아래 그림을 통해 자세히 알아 보도록 할까요?

[1] 반대 방향으로 도는 경우

 

    반대방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계방향으로 걸은 빨간색 실선과 B가 시계 반대 방향으로 걸은 파란색 실선의

    합계가 호수의 둘레 길이가 된다는 것을 잘 기억해 두어야 합니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] + [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] + [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

[2] 같은 방향으로 도는 경우

 

  

    같은 방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계 반대방향으로 한 바퀴 이상 걸은 빨간색 실선과, B도 시계 반대 방향으로

    걸은 파란색 실선의 차이가 호수의 둘레 길이가 됩니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] – [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] – [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

그러면, 다음 문제를 풀면서 자세히 연구해 볼까요?

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 둘레의 길이가 3 Km 인 호수를, 형과 동생이 같은 지점에서

 동시에 출발하여, 반대방향으로 돌면 12 분 후에 처음으로

 만나고, 같은 방향으로 돌면 1 시간 후에 처음 만난다.

 형보다 느리게 걸은 동생의 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 앞에서 배운 두 종류의 그림을 그리거나,

     트랙의 이미지를 머리 속에 떠올려야 하겠지요?

(2) 문제에서 주어진 시간 단위를 통일해서 식을 세워야 하겠지요?

     따라서, 속력 단위는 문제 뜻에 적합한, 분당 몇 미터의 단위로

     통일하는 것이 좋겠지요?

(3) 문제에서 묻고 있는 동생의 속력을 x m/m 라고 놓고,

     형의 속력을 y m/m 로 놓은 다음, 위의 이미지를 생각하면서

     거리를 기준으로 [거리=속력 시간]의 곱셈 형태로

     식을 세워야지요?

(4) 반대 방향으로 돌 때는, 위 그림에서 형이 걸은 빨간색 실선과,

     오른쪽으로 동생이 걸은 파란색 실선의 합계가 호수의 둘레

     길이가 되니까,

12 × x + 12 × y = 3000

(5) 같은 방향으로 돌 때는, 위 이미지에서 형이 한 바퀴가 넘게

     걸은 빨간색 실선에서, 동생이 걸은 파란색 실선을 빼주면,

     호수의 둘레길이가 되지요?   따라서,

60 × y – 60 × x = 3000

(6) 이제, 미지수가 2개인 연립방정식을 풀면,

↱  12 × x  + 12 × y = 3000   ⋯ ①

↳  60 × y  –  60 × x = 3000   ⋯ ②

[가감법] ① Χ 5 – ② :

(12×5 + 60) x = 3000×5 – 3000

120 x = 12000

따라서,  x = 100

(7) 답  :  동생의 속력은 100 m/m

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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  둘레의 길이가 12 인 호수를 형과 동생이 같은 지점에서

  동시에 자전거를 타고 출발하여, 같은 방향으로 돌면 3시간

  후에 처음 만나고, 반대방향으로 돌면 45분 후에 처음으로

  만난다. 동생이 더 느리다고 할 때, 형의 속력을 구하여라.

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Solution 2217

1. 평행사변형의 대각

    위 1번 소제목에 링크된 페이지 설명대로, 평행사변형 대각의 크기는 서로 같아요.

     평행사변형의 마주 보는 두 대변은 서로 평행이니까, 마주 보는 대각의 두 꼭지점을

     이어주면, 평행선의 엇각들 각각의 크기는 서로 같아요.

     이 때, 서로 마주보는 대각은 두 개의 엇각들의 합으로 이루어져 있으니까, 각각

     같은 크기의 엇각들의 합인 대각의 크기는 서로 같을 수 밖에 없지요.

     즉, Quiz 2217 문제의 그림에서 각 ABC 와 각 ADC 는 서로 대각으로

     서로 같은 70°입니다.

     따라서, 이등분한 각 ADF 와 각 CDF 는 각각  35°가 됩니다.

2. 평행선과 동위각, 엇각

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명하는 동위각과 엇각을 잘 이해하셨나요?

     서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때, 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로

     같고, 엇각의 크기도 서로 같아요.

     역으로, 동위각의 크기가 서로 같거나 또는 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은

     평행하다고 말할 수 있습니다.

     주어진 문제의 그림에서 각 BAD 와 각 HBC 는 평행선의 동위각으로 서로 같은 110°

     입니다. 따라서, 이등분한 각 BAF 와 각 DAF 는 각각  55°가 되고,

     같은 그림에서 각 DAE 와 각 BEA 는 평행선의 엇각으로 서로 같은 55°가 되지요.

     여기서, 각 AEC 는 각 BEA 와 평각인 180°를 이루므로,  180°–  55°= 125° 

     또, 앞의 그림에서 각 EAD 와 각 DCE 는 평행선의 동위각으로 서로 같은 110°

3. 삼각형 내각의 합

     평행사변형의 성질에서 배운 것과 같이, 각 BAD  + 각 CDA = 180°가 된다는

     것을 잘 알고 있겠지요?

     따라서,  각 ADF  + 각 DAF 는 1/2 * 180°=  90°이고

  

  

     위의 소제목에 링크된 페이지에서 설명한 대로, 삼각형 세 내각의 합은 180°

     삼각형 ABC 에서, 예컨데 한 변 BC 를 x 축에 평행한 밑변으로 잡고, 꼭지점 A 를

     지나고 변 BC 에 평행한 (평행)선을 그어 볼까요?

     밑각 ABC 와 크기가 같은 엇각 + 꼭지각 A + 밑각 ACB 와 크기가 같은 엇각의

     크기는 평각과 같으므로, 삼각형 세 내각의 합은 180°입니다.

 

     따라서, 주어진 Quiz 2217 문제 그림의 삼각형 AFD 에서,

     각 AFD = 180°–  90°=  90°

4. 다각형 내각의 합

     다른 방법의 풀이도 한번 살펴볼까요?

     사각형을 대각선 하나를 그어, 두 개의 삼각형으로 나누어 보면, 사각형 내각의

     합은 나누어진 두 삼각형의 내각을 모두 다 합한 것과 같습니다.

     또, 오각형을 한 꼭지점에서 대각선 두 줄을 그어서, 세 개의 삼각형으로 나누면

     이번에는, 오각형 내각의 합은 나누어진 세 삼각형의 내각들을 모두 다 합한 것과

     같다는 것을 알 수 있어요.

     이제, 이 규칙을 일반화해 볼까요?

     4 각형 내각의 합 = (4-2=2)개의 삼각형 내각들의 합 = (4-2=2) * 180°

     5 각형 내각의 합 = (5-2=3)개의 삼각형 내각들의 합 = (5-2=3) * 180°

     6 각형 내각의 합 = (6-2=4)개의 삼각형 내각들의 합 = (6-2=4) * 180°

     따라서, n 각형 내각의 합 = ( n - 2 ) * 180° 

     위의 4번에 링크된 페이지의 설명대로, 사각형 내각의 합은 180°* 2 =  360°
     그런데, Quiz 2217 문제 그림의 사각형 FECD 에서 살펴보면,

      각 DFE 는 180°– 각 AFD = 180°–  90°=  90°

      또, 각 CDF  = 1/2 * 각 ADC  = 1/2 * 70°=   35°이였지요?

     따라서, 사각형 FECD 에서 각 AEC + 각 DCE 는

     360°– ( 각 DFE  + 각 CDF ) = 360°– ( 90°+ 35°) = 235°

 

 

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Answer 3532

  235°