제곱근의
성질
square root rules
"제곱근은 이차방정식을 향한 관문이예요"
" square root is a gateway to
solving quadratic equations "
원칙적으로 중 3 과정에서는 실수 범위 내에서의 제곱근 즉, 루트 기호 안의 부호가음 (–) 이 아닌 경우만을 배우고, 고 1 과정부터 비로소 음수 (–) 의 제곱근인 허수 즉, 복소수 범위까지 공부하는 것이 표준 교과입니다만,
중 3 과정이라 하더라도, 문자로 표시되는 일부의 심화수준의 문제에서는 실질적으로는 음수(–) 제곱근의 경우도 포함되는 경우가 있습니다.
상위권 학생이나 이과 지망생들의 경우에는, 중 3 과 고 1 과정의 중복 및 심화되는 내용에 대해서는 어느 정도의 선행학습도 불가피한 것이 현실이므로,
기초적인 수준에서 음수 (–) 의 제곱근인 허수 또는 복소수의 개념도 추가로 설명할 예정이니 기본적인 개념과 계산방법 등을 정확하게 이해해 두기 바랍니다.
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앞의 제곱근의 곱셈에서 이미 공부한 대로, (√3)2 = 3 이 됩니다. 문자로 일반화 시켜서 표현한다면, (√P)2 = P 가 되지요.
( √3 )2 = ( √3 ) * ( √3 ) = 3
( – √3 )2 = ( – √3 ) * ( – √3 ) = 3
* 참고로, 고등수학 과정인 허수 (복소수) 에 해당하지만, 위의 이 성질은 P 가 음수 (–) 인 경우에도 항상 성립합니다.
(√ – 3 )2
= (√ – 3 ) * (√ – 3 )
= (√ 3 * √ – 1 ) * (√ 3 * √ – 1 )
= (√ 3 * i ) * (√ 3 * i )
= √ 3 * √ 3 * i * i
= 3 * i 2
= – 3
∴ (√ P )2 = P for any real number P
e.g.
(√ – k )2 = – k
그렇다면, 모양이 조금 다른 √(P2) 은 어떻게 계산할 수 있을까요?
이 질문은 조금 어려운 문제이니까, P 가 (1) 양수 (+) 일 때와 (2) 음수 (–) 일 때로 나누어 살펴보기로 합니다.
(1) P 가 양수 (+) 일 때
예컨데, √(52) = 5
∴ √(P2) = P
(2) P 가 음수 (–) 일 때
예컨데, √{(–5)2} = √(25) = 5
= – ( – 5)
∴ √(P2) = – P
(3) 앞에서 배웠던 절대값의 성질과 똑같지요? 따라서, 표준수학에서는 아예 절대값으로 정의하고 있으니, 반드시 외워두기 바랍니다.
√(P2) = | P |
↱ = P if P ≥ 0
↳ = – P if P < 0
그러면, 공부한 내용을 문자로 일반화시켜서, 공식으로 정리해 두도록 할까요?
임의의 실수 P 에 대하여,
(1) (√P)2 = P
(2) √(P2) = | P |
따라서, 양(+)의 실수 A, B 에 대하여는 아래와 같은 규칙이 성립한다는 것을 알 수 있습니다.
√(A2 * B)
= √(A2) * √B
(+) .
= | A | * √B
= A√B
∴ √(A2 * B) = A√B 또는 A√B = √(A2 * B)
그러면, 관련된 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
아래의 식을 간단히 하여라.
√ 108 ÷ √ 18 x √ 200 ÷ √ 75
우선, 주어진 식을 A√B 의 형태로 바꾸는 것이 좋겠지요?
√ 108 ÷ √ 18 * √ 200 ÷ √ 75
= √(3 * 62) ÷ √(2 * 32) * √(2 * 102) ÷ √(3 * 52)
= 6√3 ÷ 3√2 * 10√2 ÷ 5
= (6√3 * 10√2) / (3√2 * 5
= (6 * 10) / (3 * 5)
= 4
아래의 세 무리수 중에서 가장 작은 것을 찾아내라.
4√ 2 , 3√ 3 , 2
(1) 우선, 주어진 수들을 같은 기준으로 비교하려면 √(A2 * B) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?
4√ 2 = √(42 * 2) = √ 32
3√ 3 = √(32 * 3) =
2√ 7 = √(22 * 7) =
(2) 이제, 앞에서 배웠던 [ 양수(+) A, B 에 대하여 A = B 와 A2 = B2 은 동치 즉, 필요충분조건 ] 이라는 것을 이용하면 되겠지요?
27 < 28 < 32
∴ 3√3 < 2√7 < 4√2
그러면, 이번에는 문자로 표현된, 조금 어려운 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
a < 0 이고, b < a 일 때, 아래의 식을 간단히 하여라.
√(9 * a2) + √{4 * (b – a2)} – √{( – a)2}
(1) 우선, √(P2) 의 형태로 바꾸어야 하겠지요?
√(9 * a2) + √{4 * (b – a2)} – √{( – a)2}
= √(3a)2 + √{2(b – a)}2 – √( – a)2
(2) 이제, √(P2) = | P | 를 이용한 다음, 각 항들의 부호를 살펴보면 됩니다.
. (–) (–) (+)
= | 3a | + | 2(b – a) | – | – a |
(3) 마지막으로, 절대값 안의 부호에 따라 계산하면,
= – 3a – 2(b – a) – ( – a )
= – 3a – 2b + 2a + a
= – 2b
마지막으로 한 문제 더 풀어 보도록 할까요?
0 < a < 1일 때, 아래의 식을 간단히 하여라.
√{a + (1/a)}2 + {√(– a)}2 – √{a – (1/a)}2
(1) 우선, √(P2) = | P | 와 (√P)2 = P 를 이용하면 되겠지요?
√{a + (1/a)}2 + {√(– a)}2 – √{a – (1/a)}2
. (+) (–)
= | a + (1/a) | + ( – a) – | a – (1/a) |
(2) 절대값 안의 부호에 따라, 간단히 하면,
= a + 1/a – a – ( – a + 1/a)
= a + 1/a – a + a –
= a
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