[ square root arithmetic ]
제곱근
식의 계산은
루트기호 안의
제곱수를 찾아내는
계산능력을 필요로
하기 때문에,
중학시절에 반드시
갖추어 두어야
할 기본적인
계산연습의 대표적인
단원입니다.
제곱수를
쉽고 빠르게
찾아 내기
위하여는 부분적인
소인수분해를 암산으로
해내는 능력을
키워야 하기
때문에 부단한
연습과 노력도
필요합니다.
또한,
근호가 포함되는
분수식도 앞에서
강조한 대로,
단순히 기계적으로
계산하지 말고,
분모와 분자를
분해한 후에,
서로 약분해서
간단히 하는
요령을 익혀
두어야, 쉽고
빠르게 계산해
낼 수가
있습니다.
특히,
심화단계와 고등수학에서는
문자로 표시되는
음수의 제곱근까지도
확대되므로, 계산원리에
대한 완벽한
이해와 고등수학의
[복소수]
단원에 대한
기본개념의 이해가
반드시 필요합니다.
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[ A ] 제곱근의 사칙연산
(1) 3\(\sqrt 2 \) – 2\(\sqrt 3 \) + \(\sqrt 2 \) + 4\(\sqrt 3 \)
위의
예와 같은
제곱근 식의
덧셈과 뺄셈에서는,
우선 \(\sqrt 2 \) 또는 \(\sqrt 3 \)과 같이
동일한 제곱근을
가진 동류항을
찾아낸 후,
동류항끼리,
\(\sqrt 2 \)
또는 \(\sqrt 3 \)과 같은
제곱근은 변수인
것으로, 또
루트기호 앞의
유리수들은 계수인
것과 같이
간주하여, 분배법칙으로
묶어서 계산해야
합니다.
즉, 3\(\sqrt 2 \) – 2\(\sqrt 3 \) + \(\sqrt 2 \) + 4\(\sqrt 3 \)
= 3\(\sqrt 2 \) + \(\sqrt 2 \) – 2\(\sqrt 3 \) + 4\(\sqrt 3 \)
= (3 + 1)\(\sqrt 2 \) + (4 – 2)
= 4\(\sqrt 2 \) + 2\(\sqrt 3 \)
이번에는
제곱근의 곱셈을
알아 볼까요?
(2) 3\(\sqrt 2 \) Χ 2
제곱근의
곱셈에서는 유리수는
유리수끼리 곱하여
계수인 것과
같이 앞에,
그리고 무리수끼리는
제곱근의 곱셈 법칙에
따라, 곱한
후에 뒤에
변수인 것과
같이 써주면 됩니다.
즉, 3\(\sqrt 2 \) Χ 2
= (3 Χ 2)(\(\sqrt 2 \) Χ \(\sqrt 3 \))
= 6
마지막으로
제곱근의 나눗셈은
어떻게 할까요?
(3) \(\frac{{6\sqrt {15} }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{6\sqrt 3 \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt {\frac{5}{2}} \)
위와
같이, 유리수는
유리수끼리 약분하고,
무리수는 분해하여
약분한
다음,
남는 것을
제곱근의 나눗셈 법칙에
따라, \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{5}{2}} \) 와 같이
정리해 주거나,
중학수학에서는,
원칙적으로 분모와 분자에
를 곱하는 방법으로 분모를
유리화해서 \(\frac{{3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 5 \times \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 \times \sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\)라고 정리해
주어야 합니다.
자
그럼, 배운
것을 공식으로
정리해 볼까요?
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유리수 m,
n 과 음이 아닌 실수 a,
b 에 대하여
(1) \(m\sqrt a \pm n\sqrt a = (m \pm n)\sqrt a \)
(2) \(m\sqrt a \times n\sqrt b = mn\sqrt a \times \sqrt b = mn\sqrt {ab} \)
(3) \(\frac{{m\sqrt a }}{{n\sqrt b }} = \frac{{m\sqrt a \times \sqrt b }}{{n\sqrt b \times \sqrt b }} = \frac{{m\sqrt {ab} }}{{nb}}\)
(단,
b
≠ 0이고,
b
≠ 완전제곱수)
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[ B ] 근호에 수를 넣고 빼기
(1) \(\sqrt {18} = \sqrt {2 \times {3^2}} = \sqrt 2 \times \sqrt {{3^2}} \)
위와
같이 제곱근의 곱셈 법칙에 따라,
두 개의
제곱근의 곱으로
표시하고 나서,
앞에서 배운 \(\sqrt {{A^2}} = {\rm{ }}|A|\)의 성질을
이용해야 하겠지요?
따라서,
\(\sqrt 2 \times \sqrt {{3^2}} = \sqrt 2 \times |3| = 3\sqrt 2 \)
라고 계산합니다.
이
방법은 분수식에서도
동일하게 적용됩니다.
\(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {18} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {{3^2} \times 2} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{|3| \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{3}\)
물론,
중학수학 범위
내에서는 항상
음이 아닌
실수의 제곱근만을
다루니까, \(\sqrt {{A^2}} = A\)
라고 해도
무방하지만,
중학수학에서도
심화문제나 고등수학의
범위에서는 음의
실수에 대한
제곱근도 생각해야
하니까, 반드시 절대값을 사용하는 \(\sqrt {{A^2}} = {\rm{ }}|A|\)의 사용을 습관화해 두는
것이 필요합니다.
이번에는
근호 바깥의
수를 루트기호
안에 넣는
것을 연습해
볼까요?
(2) \(3\sqrt 5 = \sqrt {{3^2}} \times \sqrt 5 = \sqrt {{3^2} \times 5} = \sqrt {45} \)
양의
실수인 경우에는
절대값을 생각하지
않아도 되니까,
위와 같이
간단하게 근호
바깥의 수를
루트기호 안에
제곱수로 집어
넣을 수
있습니다.
이
방법은 나눗셈에서도
동일하게 활용됩니다.
\(\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {{3^2}} }} = \sqrt {\frac{6}{{{3^2}}}} = \sqrt {\frac{2}{3}} \)
참고로,
음의 실수의
제곱근도 다루는
심화문제나 고등수학에서는
문자로 표시되는
경우, 주의를
해야 합니다.
예를
들어, a
< 0 일
때는, \(a\sqrt b = - {\rm{ }}\sqrt {{a^2}} \times \sqrt b = - {\rm{ }}\sqrt {{a^2}b} \)
이해가
어려우면, 치환하라고
했지요?
a = – k 라고
치환하면,
k > 0
이므로,
\(a\sqrt b = - k\sqrt b = - {\rm{ }}\sqrt {{k^2}} \times \sqrt b = - {\rm{ }}\sqrt {{k^2}b} \)
\( = - {\rm{ }}\sqrt {{{( - a)}^2}b} = - {\rm{ }}\sqrt {{a^2}b} \)
[ C ] 제곱근 식의 계산
이제,
제곱근 식을
간단히 정리하는
방법을 알아
볼까요?
양의
실수인 경우에는
절대값을 사용하지
않아도 되니까, 꺼꾸로
A
=\(\sqrt {{A^2}} = \sqrt A \times \sqrt A \)가 되는
성질을 이용하면,
쉽고 편리하게
식을 계산할
수 있습니다.
고등학생
중에도 이
방법을 제대로
활용할 줄을
몰라, 제곱근
식의 계산이
매우 서투른
경우가 많으니, 반드시 익혀
두기 바랍니다.
예를 한 번 볼까요?
제곱근
식 \(\frac{3}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 }}{5} \times \frac{{\sqrt {15} }}{2}\)을 간단히
하여라
절대로, \(\frac{3}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 }}{5} \times \frac{{\sqrt {15} }}{2} = \frac{{3\sqrt {75} }}{{10\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \cdots \)와 같은 계산 방법은
피해야만
합니다.
\(A = \sqrt {{A^2}} = \sqrt A \times \sqrt A \)를 이용해서,
분모와 분자를
분해한 후에,
같은 것을
서로 약분만
하고, 맨
나중에 유리화만
하면
너무
쉽게 정리가
됩니다.
한
번 볼까요?
\(\frac{3}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 }}{5} \times \frac{{\sqrt {15} }}{2} = \frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \times \sqrt 5 }} \times \frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 5 }}{2} = \frac{3}{2}\)
다시
한번 강조하지만,
분수식의 계산에서는
(1) 절대로
미리 계산하지
말고, 분모와 분자를 분해한 후에,
(2) 같은 그림 찾기 방식으로 서로 다 약분해
버린 후에
(3) 남은 것을 정리한 후에 최종적으로 유리화하면,
쉽고 빠르게
답을
구해낼
수 있습니다.
[ D ] 분모의 유리화
마지막으로,
제곱근식의 분모는
곱셈공식 중
합차공식을 이용해서 간단하게 유리화할 수
있습니다.
예를
하나 볼까요?
\(\frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \frac{2}{{2 - \sqrt 3 }} \times \) \(\frac{{2 + \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }}\) \( = \frac{{2(2 + \sqrt 3 )}}{{{2^2} - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 \)
그러면
문자를 써서,
일반화시켜 볼까요?
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유리수 m,
n 과 음이 아닌 실수 a,
b 에 대하여,
\(\frac{m}{{\sqrt a \pm \sqrt b }} = \frac{m}{{\sqrt a \pm \sqrt b }} \times \frac{{\sqrt a \mp \sqrt b }}{{\sqrt a \mp \sqrt b }}\)
\( = \frac{{m(\sqrt a \mp \sqrt b )}}{{{{(\sqrt a )}^2} - {{(\sqrt b )}^2}}} = \frac{{m(\sqrt a \mp \sqrt b )}}{{a - b}}\)
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