3. 열심히 해도 수학실력이 안 늘어요 ㅠㅠ

열심히 한다고 하는데도

수학실력이 늘지를 않네요 ㅠㅠ

"살아있는 능동적인 방법으로 공부해야

수학실력이 늘어요"

대부분의 학생들은 책이나 문제집을 보면서 혼자 스스로 수학공부를 예습해 나가기가 쉽지 않습니다. 따라서 학원 강의를 수강하거나 인터넷 강의를 듣게 되는 것이 일반적입니다.

그러나 이러한 학습 환경에서는 아무 생각도 없이 수동적으로 강의를 따라가기만 하거나, 듣는 것만으로는 거의 효과가 없습니다.

예를 들어, 어느 정도 중급 이상의 난이도를 가진 수학문제를 해결하는 과정을 구체적으로 살펴 보도록 할까요? 일반적으로 다소 어려운 문제의 풀이는 적어도 다음과 같은 과정을 거쳐야 할 겁니다.

(1) 어떤 단원, 주제와 관련된 문제인지 생각해 낸다

(2) 이 문제를 해결하기 위하여는 어떤 방법을 적용할 것인지 궁리해 보고 필요한 공식이나 원리와 개념을 기억해 낸다

(3) 생각해 낸 여러 개의 방법 중, 어떤 것이 가장 좋을 지를 결정하고 선택한다

(4) 위의 결정된 방법대로 계산하여 답을 구한다

(5) 답을 구한 방법 외의 다른 방법으로 다시 풀어보거나 답을 문제에 직접 대입해서 옳게 정답을 구한 것인지 재확인한다

그런데, 정해진 시간 내에 진도를 맞추어야 하는 강의는 대부분, 선생님이 (1), (2), (3) 단계를 줄줄이 설명하고 나서, (4) 단계 중에서도 단순한 수식만을 계산해 보라고 잠깐 시간을 주고는 다음 문제로 넘어 가지요.

그러면 학생은 진짜 실력이 되는 (1), (2), (3)은 해보지도 못하고, 열심히 초등수준의 단순계산만 하다가 시간을 보냅니다. 그러니 두뇌보다는 손목 힘만 느는 거죠^^

따라서, 여러 명을 대상으로 하는 강의식 수업이나 쉴 틈없이 스트리밍되는 인터넷 강의는, 스스로 예습해 준비해 두거나, 중간 중간 멈추어 스스로 체크하고 메모하는 과정이 없이, 수동적으로만 따라가는 식으로는 거의 효과가 없습니다.

미리 예습을 해서 자기만의 (1), (2), (3)과정을 미리 준비해 둔 후에, 능동적으로 ‘아, 선생님 설명을 보니까 이런 좋은 방법도 있었는데? 나는 미처 생각을 못한 게 있었구나…’ 하고 배우거나

‘나는 이런 방법으로 풀었는데 왜 다른 결과가 나올까? 뭐가 잘못된 거지?’ 등을 질문해서 살아 있는 공부를 해야만 진짜 실력을 키워 나갈 수 있는 겁니다.

많은 학생들이 ‘선생님, 19 페이지, 5 번 문제를 모르겠어요. 좀 다시 설명해 주세요’ 라는 식의 단순하고 성의없는 질문을 하고, 너무 친절한 초보 선생님들은 단순하게 설명을 자꾸 반복합니다만, 이는 지극히 수동적인 죽어 있는 공부를 하고 있다는 증거입니다.

교사나 학생 서로에게는 보다 힘든 방법이 될 수도 있겠지만,

‘ 5번 문제를 다시 풀어 보니까, 이렇게 이렇게 여기까지는 해결이 되는데, 그 다음부터 막혀서 더 이상 어떻게 해야 할 지 모르겠어요. 내 방법이 어디가 왜 잘못된 거죠? ’

‘ 제가 푼 방법으로 답은 맞았는데, 모범답안의 풀이와 비교해 보니까 이런 점이 다르네요. 제 방법이 잘못된 건데 우연히 맞은 건 아니지요? ’

‘ 이렇게 힘든 계산으로 간신히 답은 나왔는데, 너무 무식한 방법 같아요. 더 좋은 다른 방법은 없나요? ‘

등등의 질문과 토의 그리고 설명을 주고 받는 방식으로 최대한 접근해야, 진짜로 살아 있는 공부를 하는 것이고, 공부한 만큼 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

혹시 질문할 선생님이 없거나 같이 토의할 친구가 없더라도, 우수한 학생들은 자기만의 복습할 노트에 이런 질문들과 토의할 내용들을 적어 놓고, 심지어 며칠을 끙끙거리며 자문자답해 보고 연구 고민해 보면서 쑥쑥 실력을 키워 나가지요.

2. 지적인 성장은 오직 고독 속에서

지적인 성장은 오직 고독속에서

intellectual work demands solitude

"문제가 안풀리더라도
끙끙거린만큼 수학실력이 늘어요"

‘ … 지적인 성장은 오직 고독 속에서 이루어진다 … ’ 프랑스 철학적 문학가 사르뜨르의 말입니다.

어느 공부나 마찬가지이겠지만 특히 수학공부는 우리 내면에 잠재되어 있는 이성의 힘을 키우고 활용해야 하기 때문에, 한 단계 도약하기 위하여는 반드시 혼자서 며칠이라도 끙끙거리며 해결하는 과정을 필요로 합니다.

예를 들어, 일주일간 수학 한 문제를 풀기 위해 애를 쓰고 고민을 거듭했다면, 설사 그 문제가 풀리지 않더라도 집중력을 가지고 문제해결을 위해 노력하는 과정에서 이미 수학실력은 일취월장하게 됩니다.

설사 그 문제의 답을 구하지 못했더라도, 그 일주일 동안 해결해 내느라고 노력하는 과정에서 자신이 갖고 있는 수학지식을 아주 효과적으로 복습하고 재정리하는 과정을 갖게 됩니다.

문제를 풀어내려고 애쓰는 일주일간에 관련되었을 것이라고 추정되는 수학 단원들의 이론이나 공식 또는 예제유형들을 얼마나 많이 기억해내고 동원해 내려고 끙끙거렸겠습니까? 세상에 이보다 더 좋은 복습방법은 없을 것입니다.

수학 우등생들은 저마다, 심화수학 몇 문제를 아예 머리 속에 외워 두고는 몇 일 동안이나 풀어내려고 끙끙거리다가, 어느 날 갑자기 마치 기적과도 같이 해결되는 기쁨을 맛보았던 경험을 적어도 한두 번씩은 다들 갖고 있습니다.

어려운 문제를 해결했을 때의 그 기쁨과 환희 … 그리고 솟아나는 자신감 …

물론 대부분의 학생들에겐 공부해야 하는 수학의 내용이 너무 많고 절대적으로 시간이 부족한 실정이라 안타깝게도 모든 심화 문제를 이렇게 공부할 수는 없는 노릇이라고 항변할지도 모르겠습니다만,

수학적 개념이 단단해지고 스스로 생각하는 힘이 강해질수록, 수많은 여러 개의 다른 유형으로 보였던 수학문제들이 하나의 개념과 이론만을 갖고서도 풀어낼 수 있는 간단한 유형의 문제로 보이기 시작합니다.

적어도 일주일에 한 두 문제는 이렇게 스스로 혼자만의 힘으로 고민해 보아야, 수학실력과 자신감이 빠르게 좋아집니다. 그리고 수학실력이 한 단계씩 도약하면 할수록 기계적으로 문제만 푸는 식의 낭비하는 시간을 줄일 수 있어 훨씬 효율적으로 공부해 나갈 수 있습니다.

이는 상위권 우등생에게만 해당되는 것이 아닙니다. 설사 남들에게는 쉬운 아주 기본적인 유형의 문제라도, 부족한 나에게는 오히려 좋은 심화문제가 되는 것입니다.

(1) 필수유형이라고 여러 번 강조되거나 (2) 하나의 문제인데도 여러가지의 서로 다른 풀이 방법으로 연구되던 문제들 중에서 추려낸 다음에,


내가 여러 사람 앞에서 설명할 정도로 정확하게 풀어 내지 못하는 문제들이 있다면, 반드시 리스트에 올려서 나 혼자 고민하는 즐거운(?) 시간의 화두로 삼아 보기를 권합니다.



자기 수준에 맞는 좋은 문제로, 스스로 해결해 내느라고 애쓰며 고민하고 해결해 나가는 과정에서, 수학실력과 성취감, 자신감이 쑥쑥 자라나게 될 것입니다.

에쎄이(1) 산수에서 수학으로

산수에서 수학으로

from arithmetic to real mathematics

"진짜 수학의 모습은

일반화와 기호화입니다"

" real math is characterized by
generalization and symbolization "

초등학교까지는 대부분 자연수 범위 내에서 답을 구하기 때문에, 풀이과정을 자세히 확인하지 않고, 답만 맞추는 식으로 문제를 풀다가는 엉뚱한 수학공부를 하기 쉽습니다.

머리가 똑똑하지만 잘못된 방법으로 배운 학생들은, 정답이 예상되는 자연수 중에서 그럴듯한 수를 문제에 암산으로 대입해서, 쉽게 답을 찾아내는 영리한 방법을 곧잘 씁니다.

그러나, 중학수학에서는 답을 구하는 범위가 실수까지 늘어나고, 익숙했던 숫자대신 문자로 풀어야 하는 중급 이상의 단계가 되면, 초등과정에서는 성적이 우수했던 학생인데도, x 에 관한 간단한 방정식 하나를 못 세워 쩔쩔매는 경우를 가끔 봅니다.

이런 잘못된 폼(공부방법)을 고치고 방지하려면, 조금 시간이 걸리더라도, 주관식 서술형으로 풀이 과정을 한 단계씩, 그리고 가장 좋기로는 훌륭한 선생님과 구술식의 문답으로 ‘왜 그렇게 되지?’ 를 물어가며, 하나씩 점검해 봐야 합니다.

수학적 기초개념을 어느 정도 갖춘 부모님이나 혹은 선생님이시라면, 우리 학생이 쉽게 답을 골라 내는 문제 중 아무거나 하나를 골라,

(1) ’10 이하의 자연수 중에서 …’ 를 ‘1000 이하’ 로 숫자를 크게 늘리거나

(2) ’10 까지 …’ 를 ‘N 까지 …’ 로 문자로 바꾸어 다시 풀도록 해 보세요.

숫자나 문자 하나를 바꿨는데도 문제가 갑자기 심화수준으로 바뀌고, 무언가 일반적인 규칙이나 원리를 찾지 못해 쩔쩔맬 수도 있습니다.

이것이 중학교부터 시작되는 수학의 진정한 모습, 즉, 일반화, 추상화, 기호화입니다.

수학실력이란 각 단원 별로 이러한 일반화, 추상화, 기호화의 핵심적인 기본개념을 충분히 익혀서 자기 것으로 만들고, 유사한 문제를 만났을 때, 이 개념들을 이용해서 해결해 나갈 수 있는 응용력을 키우는 것입니다.

중학시절에 이런 훈련을 제대로 해 놓아야, 고등학교에서도 다양한 내용의 고등수학 과정의 공부를 잘 해 나갈 수 있습니다.

초등학교 수준에서 너무 쉬운 기초문제들만 연습하는 방법은, 앞에서 예를 든 것과 같이, 우리 아이가 정답이 예상되는 자연수 중에서 그럴듯한 숫자를 문제에 미리 암산으로 대입해서, 쉽게 답을 찾아내는 영리한 방법을 곧잘 쓸 수도 있기 때문에

전혀 수학적인 원리를 전혀 이해하지 못하고 답만 맞히는 경우인데도, 실력이 좋은 우수한 선생님이 아니면 학생이 이해하고 알고 있는 것으로 착각할 수가 있어서, 어느 정도는 중급 난이도 이상의 문제도 공부를 해야 수학의 핵심개념과 응용력을 다질 수 있습니다.

또한, 시중에 나와 있는 상위 난이도 문제집의 심화문제 중 상당수는, 고등학교에서 다루는  수학문제 그대로를 베낀 것도 많아 주의할 필요가 있습니다. 그런 문제들은 고등학교 수학에서 활용되는 개념과 이론을 함께 배워 두지 않으면, 아직 실력이 갖추어지지 않은 중학생이나 초등학생들에게는 오히려 독이 될 수도 있기 때문이죠.

중학과정부터는 초등산수를 벗어나 진정한 수학의 개념을 배워야 하고 또, 고등학교까지 활용될 수 있는 개념과 이론을 어느 정도까지는 다져 놓고 응용력도 키워 두어야 하니, 중학시절의 올바른 수학 공부가 너무 중요합니다.

특히, 이과의 경우는 공부해야 할 수학의 양이 상당히 많아, 고2부터는 거의 외길 수순으로 매진해야 합니다. 그러니 현실적으로는 중학시절에, 적어도 고1 수준까지의 핵심적인 수학개념과 어느 정도의 응용력은 반드시 갖추어 두어야, 상위권 학생이 될 수 있습니다.