연립일차방정식(3) 연립일차방정식의 응용(강물)

연립일차방정식의 응용(강물)

systems of linear equations word problem

- going upstream or downstream

"강을 올라갈 때와 내려갈 때 속력이 달라져요"

" boat's speed changes when going upstream & downstream in the river "

강에서 배를 타고 상류와 하류 방향으로 왕복하는 문제는 2개의 미지수를 연립방정식으로 풀어야 하는 대표적인 유형입니다.

강물과 배의 속력을 미지수로 놓게 되는 특징 때문에, 대부분의 학생들이 별 생각 없이 그냥 분수식으로 식을 세우다 보니,

연립방정식의 처리가 힘들 뿐만 아니라, 분수식 계산에서의 잦은 실수 때문에, 많은 학생들이 어려워하고 있습니다.

이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법으로, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해해 둔다면,

이를 기초로 하여, 조금씩 변형되는 새로운 유형들에 보다 쉽게 응용함으로써, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 비슷한 문제들을 해결해 나갈 수 있습니다.

고등수학에서도 응용문제에서 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 철저하게 복습하고 기억해 두어야 합니다.

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우선, 강물을 따라 배가 내려갈 때와 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 서로 달라진다는 것을 알아 두어야 하겠지요? 아래의 그림을 보도록 할까요?

위의 그림에서, 노란색의 큰 화살표로 표시된 강물의 속력을 x km/h, 파란색과 빨강색으로 표시된 배의 속력을 y km/h 라 한다면,

(1) 배가 강을 거슬러 올라갈 때는, 파란색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 늦어질 테니까,

     속력이 (y – x) km/h 가 되고,

(2) 배가 강물을 따라 내려갈 때는, 빨강색인 원래의 배의 속력보다

     노란색 큰 화살표인 강물의 흐름만큼 더 빨라질 테니까,

     속력이 (y + x) km/h 가 되겠지요?

이제 그러면, 전형적인 문제를 한 번 풀어 보도록 하지요.

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 강을 따라 12 km의 거리를 보트로 왕복하는데,

 하류로 내려갈 때는 40분, 강을 거슬러 상류로

 거슬러 올라갈 때는 1시간 20분이 걸렸다.

 이 때, 강물이 흐르는 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 강물위의 보트가 움직이는 그림을 그리거나 이미지를 머리 속에 떠올리는

     것이 중요하다고 했지요?

                     

(2) 다음은 시간과 분이 섞여 있으니, 시간 단위를 통일해야지요?

     또 가급적이면, 문제에서 묻고 있는 강물의 속력을 x (km/h) 라고

     놓는 것이 좋다고 했지요?

(3) 위의 그림에서 보트의 속력을 y km/h 라고 놓고, 실제의 속력을 생각해 봅시다.

     * 강을 거슬러 올라갈 때는 속력이 (y – x) km/h

     * 강을 따라 내려갈 때는 속력이 (y + x) km/h

(4) 자, 이제는 거리가 같다는 기준으로 식을 세워 볼까요?

     [시간 = 거리 ÷ 속력] 이나 [속력 = 거리 ÷ 시간] 등의 분수식 보다는,

     [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 실수도 방지하고 쉽게 풀 수

     있다고 했지요?

(5) 강을 거슬러 올라갈 때는 (y – x)*(1 + 20/60) = 12

     강을 따라 내려갈 때는 (y + x)*(40/60) = 12

(6) 위의 두 식을 정리한 다음에 연립으로 풀면,

             ↱ y – x = 9    ⋯ ①

       ↳ y + x = 18  ⋯ ②

[가감법]  ① + ② : 

2y = 27

따라서, y = 13.5, x = 4.5 

답 : 강물의 속도는 4.5 km/h

다시 한번, 푸는 방법과 요령을 정리해 보도록 할까요?

[1] 문제를 보면서, 어떤 유형의 질문인지를 파악하고 제일 먼저 그 유형에 맞는 그림이나 다이어그램을 생각하여야 합니다.

최소한 몇 가지의 표준적인 유형들에 대하여는 문제를 보는 즉시 머리 속에 이미지가 떠 오르도록 공부해 두어야 합니다.

[2] 무엇을 x 로 놓을 것인가? 가급적이면 문제에서 묻는 것을 x 로 하는 것이 좋습니다.

익숙하게 문제를 풀 수 있는 수준에 오를 때 까지는, 맨 첫 줄에 내가 무엇을 x 로 정의(define) 했는지를, 단위까지 포함에서 서술형으로 써 놓기 바랍니다.

[3] x 를 포함한 다른 미지수들의 단위(unit)를 확인하고 반드시 통일시켜야 합니다.

시간이나 거리 등의 단위가 서로 다르면 방정식의 등호가 성립하지 않기 때문이지요.

[4] 미지수는 가급적 적게 세우는 것이, 쉽고 간단하게 계산할 수 있어서 좋습니다만, 필요한 경우에는 2개 이상의 미지수를 놓고 연립 방정식으로 해결하면 됩니다.

이 때, 내가 세운 미지수의 개수와 서로 다른 식의 개수가 같아야 문제가 풀리는 것이니까, 혹시 식의 개수가 부족하다면, 문제지를 다시 꼼꼼하게 읽고 숨어 있는 조건식을 찾아내야 하겠지요?

[5] 가능하다면, 나눗셈의 분수식보다는 곱셈 형태의 정방정식을 세워야 계산이 쉬워지고 실수가 줄어든다고 강조했지요?

[6] 심화문제나 증가율이나 할인율 등의 문제에서는, 묻는 것을 직접 x 로 놓기가 어려운 경우가 있으므로, 계산을 끝낸 후에는 반드시 문제에서 묻는 것을 재확인하고 진짜 답을 다시 구해야 합니다.

예를 들어 넓이를 구하는 데 음수도 구해졌다면, 문제의 뜻에 맞지 않는 답은 버려야 하겠지요?