삼각형의 닮음 Solution 42021

Solution 42021

1. 접은 삼각형은 서로 합동

    위 1번 소제목에 링크된 페이지 설명대로, 접은 두 삼각형은 서로 합동입니다.

    따라서, Quiz 2603 문제의 그림에서 각 DAF  = 각 DEF  = 60°이고

             변 AF 의 길이 = 변 EF 의 길이  = x

             변 DE 의 길이 = 변 DA 의 길이  = 7 cm

    또, 정삼각형 ABC 에서,

             변 AB 의 길이 = 변 AD 의 길이 + 변 DB 의 길이

                                  = 7 cm + 8 cm = 15 cm

     따라서, 변 EC 의 길이 = 변 BC 의 길이 - 변 BE 의 길이

                                      = 15 cm - 5 cm = 10 cm   ⋯ ①

2. 삼각형 내각의 합

    위 2번 소제목에 링크된 페이지의 설명대로, 삼각형 내각의 합은 180°입니다.

    Quiz 2603 문제 그림의 삼각형 DBE 에서, 각 DBE  =  60°이므로

            각 BDE  + 각 BED  = 180°-  60° = 120° ⋯ ②

    평각 BDE 에서, 각 DEF  =  각 DAF  =  60°이므로

            각 BED  + 각 CEF  = 180°-  60° = 120° ⋯ ③

  

    위의 ②, ③ 식을 연립으로 풀면, 각 BDE  = 각 CEF 

   

    또, 삼각형 DBE 와 삼각형 ECF 에서, 각 DBE  =  각 ECF  =  60°이므로

    위 연립 결과에서 각 BDE  = 각 CEF  = a 라 놓으면,

          각 BED  = 각 CFE  = 180°-  60°- a  = 120°- a 

3. 삼각형의 닮음

    소제목에 링크된 페이지에서 설명하는 삼각형의 닮음 조건을 잘 이해하셨나요?

    위 2번에서 삼각형의 여러 각들의 크기를 살펴본 바 대로

          각 BDE  = 각 CEF  = a 이고,

          각 BED  = 각 CFE  = 120°- a 이므로

    삼각형 DBE 와 삼각형 ECF 는 AA 닮음이 됩니다.

    그런데, 위의 ① 식에서

         변 EC 의 길이 = 10 cm 라 이미 구했으므로

         변 BD 의 길이 : 변 CE 의 길이 = 닮음비 = 8 : 10 이고

         변 EF 의 길이 : 변 DE 의 길이 = 닮음비 = 4 : 5 

    따라서, 변 DE 의 길이 : 변 EF 의 길이 = 7 : x  = 4 : 5 이므로

        변 EF 의 길이 =  x  = 35/4 = 8.75 (cm) 

   

 

 

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Answer 42021

  35/4 = 8.75 cm

삼각형의 닮음 Quiz 42021

Geometry Quiz 42021

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Hint 1 " 접었으니까, 위 그림에서 어떤 각들의 크기가 서로 같을까요? "

Hint 2 " 닮은꼴 삼각형은 어디에 숨어 있을까요? "

Hint 3 " 닮음비는 구할 수 있나요? "

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Solution & Answer 42021

삼각형의 닮음(16) 삼각형 외각의 이등분선 정리

삼각형 외각의 이등분선 정리

exterior angle bisector theorem

"평행선과 닮음이 이렇게도 활용되네요!"

" we can apply parallel lines & similarity to prove this! "

삼각형 내각의 이등분선 그리고 외각의 이등분선 정리들과 그 증명 과정들은 중학과정의 도형기하 단원뿐만 아니라, 고등학교 및 대입수능 시험에서 복합유형의 응용문제 형태로 자주 등장하는 매우 중요한 내용입니다.

단순히 그 결과를 기억해 두고 사용하는 것도 중요하지만, 평행선의 성질과 닮음을 활용하는 그 증명과정들도 매우 중요하니, 확실하게 공부해 두기 바랍니다.

내각의 이등분선과 외각의 이등분선 정리를 별도로 꼼꼼하고 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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아래 그림과 같이 삼각형의 외각의 하나인 꼭지각 ∠A 의 외각을 이등분한 선이 밑변 BC 의 연장선과 만난 교점을 D 라 할 때, 다음 변들의 길이의 비가 서로 같다는 정리입니다.

AB : AC = BD : DC

왜 그럴까요?

다음 그림과 같이, 점 C 를 지나 외각의 이등분선인 AD 와 평행한 직선을 그어, 변 AB 와 만나는 점을 F 라고 해 볼까요?

위 그림에 빨간색 점들로 표시된 것과 같이 여러 각들의 크기가 서로 같네요?

초록색으로 표시된 두 평행선의 동위각이니까,

∠EAD = ∠AFC

또, 초록색으로 표시된 두 평행선의 엇각이니까,

∠DAC = ∠ACF

이제, 숨어 있던 이등변삼각형이 잘 보이시나요?

바로 ΔACF 가, 변 AC = 변 AF 인 등변을 갖는 이등변삼각형이지요.

즉, 내각의 이등분선 정리의 좌변인 AB : AC = AB : AF 와 같은 비례값이라는 것이지요.

이번에는, 초록색 평행선으로 이루어진 서로 닮은 두 삼각형을 살펴 볼까요?

ΔBDA 와  ΔBCF 는 ∠B 는 공통이고, 평행선의 동위각으로 ∠BAD = ∠AFC 이니까, 두 삼각형은 서로 AA 닮음이 됩니다.

여기서, BA : BE = BD : BC = 1 : k  라 놓으면, 선분 AE  = BE  – BA  = (k – 1) * BA

그리고 선분 DC = BC – BD  = (k – 1) * BD  이므로

BA : AE = 1 : (k – 1) = BD : DC

그런데, 위에서 이등변삼각형의 등변 AC = AE 인 것을 찾아 냈었지요?

따라서, BA : AE = BA : AC = BD : DC

원과 접선 및 할선 Solution 716227

Solution 716227

1. 삼각형에서 내각의 이등분선 정리

     위의 소제목에 링크된 페이지의 설명대로, 삼각형 내각의 이등분선 정리는 혼합

     된 유형의 형태로 자주 등장하니, 철저하게 이해하고 반드시 그 내용을 잘 기억해

     두시기 바랍니다.

     * 링크된 내각의 이등분선 그림에서 변 AB : 변 AC  = 변 BD : 변 DC

     Quiz 3532 문제의 그림에서 각의 이등분선이 주어졌으니까, 선분들 간의 비율을

      알아낼 수 있겠지요?

     위의 1번 소제목에 링크된 페이지에서 설명되어 있는 대로, 선분 PA : PB 의

      비율은 선분 QA : QB 의 비율과 같아요.

      그렇다면, 선분 PA : PB 의 비율은 어떻게 알아낼 수 있을까요?

2. 원의 접선과 현이 이루는 각

     위의 2번 소제목에 링크된 설명은 줄임말로 (접현각 정리) 라고 알려져 있는

     '원과 각'의 단원에서 배우는 아주 중요한 내용이지요.

    이제, 원의 접선과 현이 이루는 각과 그 현에 대한 원주각은 서로 같다는 뜻인

    줄임말로 (접현각 정리)를 잘 이해하고 기억해 두기를 바랍니다.

3. 닮은꼴의 삼각형 찾아내기

    위의 2번 소제목에 링크된 설명을 읽고, 삼각형의 세 가지 닮음조건인 SSS, SAS

    그리고 AA 닮음을 잘 이해하셨나요?

    (1) 바로 위의 2번 설명(접현각 정리)에 따라서, ∠PAC 와 ∠PBA 가 서로 같고

    (2) 주어진 문제의 조건에서 ∠APD 와 ∠BPQ 가 서로 같으므로,

    ΔPCA 와 ΔPAB 는 즉 대응각 두 개가 서로 같은 [AA 닮음]이 되지요.

   이제 서로  닮은 이 두 삼각형에서, 대응변을 살펴보면 선분 PA : PB 의 비율은

   선분 CA : AB 의 비율과 같으므로 = 10 cm : 15 cm = 2 : 3

    따라서, 선분 AQ : QB 의 비율도 2 : 3 이므로 선분 AQ 의 길이는

    15 (cm) * 2 / (2 + 3) = 6 (cm)

 

 

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Answer  716227

  6 cm