소수를 분수로
converting decimals to fractions
"순환소수는 [똑같은 꼬리자르기] 기법으로
쉽게 분수로 바꿀 수 있어요"
" conversion becomes much easier by using [same tail] technique "
유한소수와 순환하는 무한소수는 기약분수인 유리수와 관련되어, 중고등수학 전반에서 응용되는 유형으로 자주 출제 됩니다.
특히, 유한소수가 되기 위한 기약분수의 조건 등은 정수와 관련된 심화유형 문제로 연계되어 자주 출제되니, 개념을 철저하게 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.
또한, 순환하는 무한소수를 분수로 바꾸는 [똑같은 꼬리 자르기] 기법은, 분수식과 무리식에서도 활용되는 기본적이면서도 중요한 방법이니까, 반드시 기본개념을 확실하게 익혀 두기 바랍니다.
[ A ] 유한소수
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[ A ] 유한소수
0.273 과 같이 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자가 끝이 있는 소수를 유한소수라 합니다.
0.273 = 273 / 10³ = 273 / 1000 과 같이 유한소수는 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자의 개수만큼, 분모에 10 의 거듭제곱을 해서, 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.
이 때, 그 분수의 분모는 10 의 거듭제곱이니까, 약분을 해서 기약분수가 되었더라도, 항상 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있습니다.
이번에는 이 개념을 역으로 적용해서 앞에서 배웠던 유한소수 판별방법을 복습해 볼까요?
13 / 20 = 13 / (2 x 2 x 5) 와 같이, 어떤 기약분수의 분모가 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 그 분수는 소수형태로 바꾸었을 때, 항상 유한소수가 됩니다.
왜냐하면, 13 / (2 x 2 x 5) 의 분모에 부족한 2 나 5 의 개수만큼을 곱해 준다면, 아래와 같이 분모를 항상 10 의 거듭제곱으로 만들어서, 소수(decimals)로 나타낼 수 있기 때문이지요.
분수(fraction) 13 / 20 = 13 / (2 x 2 x 5)
= (13 x 5 x 5 x 2) / (2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 2)
= 650 / (10 x 10 x 10)
= 0.65 소수(decimal fraction)
또 하나, 예를 들어 볼까요?
분수(fraction) 69 / 150 = 69 / (2 x 3 x 5 x 5)
= (23 x 3) / (2 x 3 x 5 x 5)
= 23 / (2 x 5 x 5) 기약분수(reduced fraction)
= (23 x 5 x 2 x 2) / (2 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2)
= 460 / (10 x 10 x 10)
= 0.46 소수(decimal fraction)
위와 같이 분모에 2 나 5 가 아닌 숫자 3 이 들어 있다 하더라도, 약분한 후에 최종 정리된 기약분수의 분모가, 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 유한소수로 나타낼 수 있습니다.
[ B ] 순환하는 무한소수
그렇다면, 만일 기약분수의 분모에 2 또는 5 이외에 다른 숫자가 있다면, 이 분수는 유한소수가 될 수 있을까요?
분모에 2 또는 5 의 배수가 아닌 다른 소수들이 있는 경우를 볼까요?
1 / 3 = 0.333⋯ = 0.3*
1 / 7 = 0.142857142857⋯ = 0.1*42857*
1 / 11 = 0.090909⋯ = 0.0*9*
1 / 13 = 0.076923076923⋯ = 0.0*76923*
⋮
등과 같이, 모두 순환하는 무한소수가 됩니다. 진위 문제에서 자주 등장하지만, 순환하는 무한소수는 유리수이고, π = 3.14159⋯ 와 같이 순환하지 않는 무한소수는 무리수라는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.
순환하는 무한소수(순환소수)는 유리수이기 때문에, 언제나 기약분수로 나타낼 수 있습니다. 그러면 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 대해서 알아 보도록 하지요.
아주 쉽고도 유명한, [똑같은 꼬리 자르기] 기법입니다. 가장 기본적이면서 중요한 방법이니까, 반드시 기억해 두고 활용하기 바랍니다.
예를 들어, 0.424242⋯ = 0.4*2* 를 분수로 나타내 볼까요?
(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.
x = 0.424242⋯ ⋯ ①
(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 곱해줍니다.
100 x = 42.424242⋯ ⋯ ②
(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
② ‐ ① : [ 가감법 ]
100 x = 42
∴ x = 42 / 100 = 21 / 50
이번에는 0.821212⋯ 을 기약분수로 바꿔 볼까요?
(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.
x = 0.8212121⋯ ⋯ ①
(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 각각 곱해줍니다.
10 x = 8.212121⋯ ⋯ ②
1000 x = 821.212121⋯ ⋯ ③
(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,
③ ‐ ② : [ 가감법 ]
990 x = 821 – 8 = 813
∴ x = 813 / 990 = 271 / 330
[ C ] 순환하는 무한소수를 분수로 고치는 공식
앞에서 배운 내용을, 문자로 일반화시켜 공식으로 정리하도록 할까요?
다만, 아래의 공식은 시험 직전에, 문제를 빨리 풀기 위해 참고하는 정도로만 활용하세요.
평소에는 가급적 [똑같은 꼬리 자르기] 방법을 이용해서 문제를 풀어야 응용력이 좋아집니다.
a.bx*y*= (abxy - ab) / 990
(1) 분모에는, 소수점 이하에서, 순환마디 x*y*의 개수만큼 9를 쓰고, 나머지 순환마디가 아닌 b의 개수만큼 9 다음에 이어서 0 을 적는다.
(2) 분자에는, 소수점을 무시하고 전체 숫자 'abxy' 에서 순환마디가 아닌 숫자 'ab' 를 뺀 수를 적어 넣는다.
(3) 이제, 만들어진 분수를 약분하여 기약분수로 만든다.
공식을 적용하는 예를 보도록 할까요?
(1) 순환소수 3.8212121⋯ = 3.82*1* 를 공식에 적용하면,
(3821 - 38) / 990
= 3783 / 990
= 1261 / 330
(2) 또는 간편하게 3.8212121⋯ = 3 + 0.8212121 ... 로 바꾸면,
3 + 0.82*1*
= 3 + (821 - 8) / 990
= 3 + 271 / 330
= 1261 / 330
