이차방정식(2) 판별식

판별식

discriminant

"판별식만 보면 이차방정식의 해를 알 수 있어요"

" discriminant tells us the nature of the roots

of a quadratic equation "

  

이차 방정식의 근의 공식에서 유도되는 판별식은, 이차 방정식의 실근의 개수를 판단하는 기본공식입니다.

실근의 개수는 그래프에서는 교점의 개수를 나타내므로, 원과 타원의 방정식을 포함하는 이차함수 또는 이차식의 그래프에서도 많이 응용됩니다.

또한, 이 판별식을 응용하면, 완전제곱 꼴의 이차식 뿐만 아니라, 심화 유형의 최대, 최소문제도 해결할 수 있습니다.

중3과 고1에 배우는 중,고등수학의 핵심이 되는 매우 중요한 개념의 하나이니까, 기초적인 개념을 확실하게 이해하고 응용력도 배양해 두기 바랍니다.

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[ A ] 판별식 D

앞에서 배운 [근의 공식]을 기억해 봅시다.

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

위의 공식에서, 루트 안의 b² – 4ac 를 한 번 살펴 볼까요?

(1) 만일, b² – 4ac > 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 서로 다른 2개의 실근이 되겠지요.

x = { – b + √(b² – 4ac)} / 2a  또는  { – b – √(b² – 4ac)} / 2a

(2) 만일, b² – 4ac = 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 ‘중근'을 갖게 됩니다.

x = { – b ± √(0)} / 2a = – b/2a

(3) 만일, b² – 4ac < 0 이라면, ax² + bx + c = 0 의 해는 어떻게 될까요?

      √(b² – 4ac)가 허수이니까, ± √(b² – 4ac) 2개가 모두 허수가 되겠지요?

      즉, x 는 서로 다른 2개의 허근을 갖습니다.

(4) 여기서, D = b² – 4ac 라고 한다면, D의 부호에 따라서 이차방정식의 근의 성질을 알아낼 수 있으니까, D = b² – 4ac 를 판별식이라 부릅니다.

이제, 배운 것을 정리해 볼까요?

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해는,

 (1) 판별식 D = b² – 4ac > 0일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D = b² – 4ac = 0일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D = b² – 4ac < 0일 때, 서로 다른 2개의 허근

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참고로, 판별식은 이차식에서만 활용할 수 있다는 점에 유의하기 바랍니다.

가끔 엉뚱하게도, 실근의 개수 문제만 나오면, 다른 형태의 식에서도 판별식을 고민하는 학생들이 있는데, 판별식은 이차 방정식의 근의 공식의 일부이니까, 당연히 2차식 부분에서만 사용할 수 밖에 없겠지요?

[ B ] 판별식 D/4 

똑같은 원리를, 일차항의 계수가 짝수인 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 에 대입해 볼까요?

x = [–2b' ± √{(2b')² – 4ac}]/2a

x = {–2b' ± √(4b'² – 4ac)}/2a

x = {–2b' ± 2√(b'² – ac)}/2a

x = {–b' ± √(b'² – ac)}/a

붉은 색으로 표시된 이 결과를 짝수공식이라 하고, 이번에는 루트 안의 b'² – ac 가 짝수공식의 판별식이 됩니다.

기호로는 짝수공식일 때의 판별식을 D/4 (= b'² – ac ) 라고 표현합니다.

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 이차방정식 ax² + 2b'x + c = 0 의 해는,

 (1) 판별식 D/4 = b'² – ac > 0 일 때, 서로 다른 2개의 실근

 (2) 판별식 D/4 = b'² – ac = 0 일 때, 1개의 실수인 중근

 (3) 판별식 D/4 = b'² – ac < 0 일 때, 서로 다른 2개의 허근

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 [ C ] 판별식의 응용

우선, 문제부터 볼까요?

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 이차식 ax² – 6ax + 3 이 완전제곱식이 되도록

 상수 a 의 값을 정하여라.

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(1) 완전제곱 이차식이 된다는 것은, a(x – p)²의 꼴

     즉, a(x – p)² = 0 의 해가 중근이 되는 것이므로,

     위 문제에서 주어진 이차식의 판별식 D/4 = (–3a)² – 3a = 0

(2) 따라서, 3a(3a – 1) = 0 이므로, a = 0  또는  1/3

(3) 그런데, 이차식이라 했으니까, a ≠ 0

      따라서,   답은  a = 1/3

마지막으로, 심화유형의 응용문제를 살펴 볼까요?

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 실수 x, y 가 방정식 2x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 를

 만족할 때, x, y 의 최대값을 구하여라.

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(1) 실수 x, y 라고 했으니까, 뿐만 아니라 최대, 최소에 관한 문제는 당연하게 실수 범위에서 생각하는 것이니까, x, y 는 실수값을 가져야 합니다.

(2) x 의 최대, 최소값을 구하기 위하여는 꺼꾸로, x 의 반대가 되는
      y 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       y² + 2y + 2x² – 6x + 3 = 0

(3) y 에 관한 이차식에서 y 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(y) = b'² – ac ≥ 0

 

1² – (2x² – 6x + 3) ≥ 0

(4) 정리해서 계산하면,

2x² – 6x + 3 – 1 ≤ 0

x² – 3x + 1 ≤ 0

{3 – √(3² – 4*1*1)}/2 ≤  x  ≤ {3 + √(3² – 4*1*1)}/2

(3–√5)/2 ≤  x  ≤ (3+√5)/2

따라서, x 의 최대값은 (3+√5)/2

(5) 이번에는, y 의 최대, 최소값을 구하는 것이니까, 꺼꾸로
       y 의 반대가 되는 x 에 관하여 내림차순으로 정리합니다.

       2x² – 6x + y² + 2y + 3 = 0

(6) x 에 관한 이차식에서 x 가 실수값 즉, 실근을 가져야 하니까,

D/4(x) = b'² – ac ≥ 0

 

(–3)² – 2(y² + 2y + 3) ≥ 0

(7) 정리해서 계산하면,

2y² + 4y + 6 – 9 ≤ 0

2y² + 4y – 3 ≤ 0

[ – 2 – √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2 ≤  y  ≤ [ – 2 + √{(– 2)² – 2*(– 3)}]/2

(–2–√10)/2 ≤  y  ≤ (–2+√10)/2

따라서, y 의 최대값은 (–2+√10)/2