이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

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 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

이차함수(4) 이차함수와 판별식

이차함수와 판별식

discriminant to describe quadratic function

"판별식만으로도 포물선의 위치가 저절로 떠올라요"

" discriminant formula automatically

reminds me of the position of the parabola "

  

이차함수 그래프의 위치 관계와 판별식은 중등 심화과정과 고등과정의 이차 함수와 포물선, 최대값 및 최소값 등의 단원에서, 연계형 유형으로 다양하게 응용되고 있습니다.

특히, 포물선과 직선, 원과 포물선 또는 원과 직선 등 이차식으로 표현되는 그래프들 간의 위치 관계나 최대값 및  최소값을 구하는 핵심적인 개념이며 원리입니다.

가급적 쉽게 기초부터 설명할 예정이니, 철저하게 원리를 이해하고, 응용력을 키워 두어야 합니다.

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포물선의 모양을 갖는 이차식 y = ax² + bx + c 의 그래프를 x 축과의 위치 관계로 나타내면 어떤 종류들이 있을까요?

만일 a 가 양수 (+) 라고 한다면, 아래의 그림과 같이 (a) 두 점에서 만나는 빨간색 (b) 한 점에서 접하는 검은색 그리고 (c) 만나지 않는 파란색 포물선의 3 가지 경우로 나누어서 생각해 볼 수 있겠지요?

[ A ] x 축과 두 점에서 만난다

먼저, 빨간색 포물선 y = ax² + bx + c (a > 0) 가 x 축과 만나는 점 A 와 B 의 좌표를 구해 보도록 할까요?

(1) x 축의 방정식이 y = 0 이니까, 포물선과 x 축의 두 그래프를 연립으로 하는 이차방정식 ax² + bx + c = 0 를 풀어야 하겠지요?

(2) 앞의 이차방정식에서 배운대로 ax² + bx + c = 0 의 두 근은, 근의 공식을 이용하면,

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

(3) 그런데, 항상 – b – √(b² – 4ac) < – b + √(b² – 4ac) 가 성립하니까, a > 0 일 때, 두 점 A 와 B 의 좌표를 구해보면,

  

A = ( { – b – √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

B = ( { – b + √(b² – 4ac)} / 2a , 0 )

(4) 이 때, 점 A 와 B 는 서로 다른 두 점이니까, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 양 (+) 의 값을 가져야 하겠지요?

[ B ] x 축과 접한다

그러면, 검은색 포물선 y = ax² + bx + c 가 x 축과 만나는 점 C 의 좌표는 어떻게 될까요?

(1) 위에서 구한 두 근, { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 와 { – b – √(b² – 4ac)} / 2a 가 점점 모아져서 하나로 합쳐지는 점이겠지요?

(2) 따라서, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 0 이 되어야 합니다. 따라서 점 C 의 좌표는 ( – b /2a , 0) 가 됩니다.

[ C ] x 축과 만나지 않는다

마지막으로, 파란색 포물선 y = ax² + bx + c 는 x 축과 만나지 않으니까, 이차방정식 ax² + bx + c = 0 는 실수값의 해를 가지지 않는 것이겠지요?

(1) 즉, 두 근의 x 좌표에서, 루트기호 안의 값인 판별식 (D) = b² – 4ac 가 음수 (–) 가  되어, x 좌표는 허수의 값을 갖게 되고,

(2) 따라서, 실수의 좌표 평면에서는 그 값 즉, 두 근의 위치를 나타낼 수 없다는 뜻이 됩니다.

이제 그러면, 지금까지 공부한 내용을 일반화시켜서 정리해 볼까요?

위의 도표는 이차함수로 표시되는 포물선 그래프와 x 축과의 위치 관계와 관련하여 앞으로도 다양하게 응용되니까, 그래프의 모양과 함께 반드시 기억해 두기 바랍니다.

뒤에서 자세히 설명할 예정이지만, 예를 들자면, 이차의 절대 부등식에서도 활용됩니다. 이와 관련된 보기 문제를 하나 보도록 할까요?

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모든 실수 x 에 대하여, 이차 부등식 ax² + 4x + a < 0 가 항상 성립하기 위한 a 값의 범위를 구하여라.

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(1) 위에서 정리해 두었던 도표에서, 가장 아래 칸에 있는 포물선 그래프의 위치에 해당하는 내용을 기억해 내야 되겠지요?

(2) a < 0 그리고 동시에 (∩) D < 0 의 조건을 만족해야 하니까,

a < 0 ⋯ ①

(3) 또, D/4 = 4 – a² < 0 에서,

a < – 2  or  a > 2 ⋯ ②

(4) 따라서, ① ∩ ② 를 연립으로 풀면,

답은 a < – 2

이 뿐만 아니라, 다음에 설명할 포물선과 직선의 위치관계 등에서도, 이번에 배운 똑같은 원리가 그대로 적용됩니다.


확실하게 이해해 두고, 앞으로 배우게 될 다양한 유형에서 활용할 수 있도록 철저하게 복습해 두기 바랍니다.