소수(4) 문자로 표시된 순환소수

문자로 표시된 순환소수

repeating decimals expressed in letter form

" 두자리 수 ab 를 식으로 나타내면 10a + b "

" 2-digit number 'ab ' should be expressed as 10a + b "

중고등수학에서의 상위권 실력을 갖춘다는 것은, 문자로 표시되는 일반화, 추상화, 기호화의 개념을 충분히 익혀서 자기 것으로 만들고, 유사한 문제를 만났을 때, 이 개념들을 이용해, 해결해 나갈 수 있는 응용력을 키우는 것입니다.

순환하는 무한소수가 숫자 대신에 문자로 주어지는 경우, 많은 학생들은 크게 당황하게 됩니다만, 이 때에도 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 그대로 활용하면 됩니다.

반드시 기본개념을 확실하게 이해하고 익혀 둔 다음에, [순환소수를 분수로 바꾸는 공식] 은 시험에 대비한 시간절약의 목적으로 이용하는 것이 바람직합니다.

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숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배웠던 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.

다만, 문자로 표시했을 때, 정수 부분의 자릿수를 표시할 때는, 아래에 예를 든 것과 같이, 십진법의 표시에 주의를 해야만 합니다.

ab = 10a + b

ba = 10b + a

ab.c = 10a + b + c/10

이제, 예제를 풀어 보도록 할까요?

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한 자리의 자연수 a 가, 아래의 부등식을 만족한다고 할 때, a 의 값을 구하여라.

7/12 < 0.aaa ... < 7/10 

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(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.

(2) x = 0.aaa ... 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 10 을 곱해 주면 되겠지요?

   a 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.

  x = 0.aaa ...       ⋯ ①

10 x = a.aaa ...     ⋯ ②

(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

9 x = a

∴  x = a / 9

(3) 이제, 주어진 부등식에 대입한 후에, 분모들의 최소공배수 180을 곱해 주면,

7/12 < a/9 < 7/10

105 < 20a < 126

5.25 < a < 6.3

∴  a = 6

이번에는, 조금 더 어려운 예제를 풀어 볼까요?

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p < q 인, 한 자리의 자연수 p 와 q 가 아래의 식을 만족할 때, p 와 q 의 값을 구하여라.

0.pqpq ... + 0.qpqp ... = 0.444 ...

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(1) 숫자가 아니고 문자로 표시된 순환소수도, 앞에서 배운 대로 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용하면 됩니다.

(2) x = 0.pqpqpq ... 라 놓고, 똑 같은 꼬리를 만들려면, 양변에 100 을 곱해 주면 되겠지요? p 는 한 자리수이니까, 숫자와 똑같이 계산하면 됩니다.

    x = 0.pqpqpq ...                       ⋯ ①

100 x = 10p + q + 0.pqpqpq ...      ⋯ ②

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

99 x = 10p + q

∴  x = (10p + q) / 99

(4) 같은 방법으로, 나머지 문자표시 순환소수도 분수로 바꿔 주면,

    y = 0.qpqpqp ...                       ⋯ ①

100 y = 10q + p + 0.qpqpqp ...      ⋯ ②

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

99 y = 10q + p

∴  y = (10q + p) / 99

(5) z = 0.444 ... = 4/9

(6) 따라서, 이 결과들을 주어진 식에 대입한 후 간단하게 정리하면,

(10p + q)/99 + (10q + p)/99 = 4/9

(11p + 11q)/99 = 44/99

∴  p + q = 4

그런데, p < q 라 했으므로

(p, q) = (1, 3)

마지막으로, 문자로 표시된 아래의 순환소수를 [똑같은 꼬리 자르기] 기법을 활용해서 분수로 나타내 볼까요?

a.bpqpqpq ...   

(1) x = a.bpqpqpq ... 라 놓고, 양변에 10 을 곱한 식과 1000 을 곱한 식 2 개가 있어야 하겠지요?

      10 x = 10a + b + 0.pqpqpq ...                        ⋯ ①

1000 x = 1000a + 100b + 10p + q + 0.pqpqpq ...    ⋯ ②

(2) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

990 x = 990a + 99b + 10p + q

∴  x = (990a + 99b + 10p + q) / 990

참고로, 이 결과를 그냥 공식에 대입해서 같은 지를 확인해 볼까요?

(1) 공식에 그대로 대입하면, 소수점 아래에서 순환마디의 개수가 2개, 순환마디에 포함되지 않는 숫자가 1개이니까, 분모는 990

(2) 이제, 분자는 그대로 쓰면, abpq – ab 라고 착각하기 쉽지만, 문자로 표시된 경우에는 앞에서 배운대로, 정수부분의 자릿수는 주의를 해서 표현해야 되겠지요?

(1000a + 100b + 10p + q) – (10a + b)

= 990a + 99b + 10p + q

∴  (990a + 99b + 10p + q) / 990

그동안 단순하게 암기하였던 순환소수를 분수로 바꾸는 공식이, 우리가 앞에서 공부한 [똑같은 꼬리를 자르는 기법] 의 유도과정 그리고 결과와 똑같다는 것을 알 수 있어요.

소수(2) 무한소수와 무리수

무한소수와 무리수

infinite decimals & irrational numbers

"집합을 알면 반례 찾기가 쉬워져요"

" understanding the truth set makes it easier

to find counter example "

앞에서 설명한 [순환하는 무한소수] 와 관련하여 무한소수는 유리수인지 혹은 무리수인지를 혼동하는 중학생들이 의외로 많아, 보충설명의 성격으로 추가설명을 하고자 합니다.

과거의 중학생들에 비해, 이 내용과 관련된 진위형 문제에서 많은 오답이 나오는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.

표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.

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[ A ] 명제와 진리집합


위의 질문에 대답하기 위해서는 먼저 '집합'을 알아 두어야 합니다. 우선 간단하게 기초적인 '집합'의 개념을 공부해 보도록 할까요?

가장 일반적이고 흔한 예인 ‘사람은 동물이다’ 라는 문장을 가지고 [명제] 와 [진리집합] 에 관하여 알아 보도록 합시다.

위의 예와 같이 참과 거짓을 객관적으로 판별할 수 있는 문장을 [명제] 라고 하고, 소문자를 써서 p → q 와 같이 화살표 기호로 표현합니다.

이 때, 위에서 예를 든 문장으로 본다면, p 에 해당하는 ‘사람은 (또는 사람이면)’ 부분을 [가정] 이라 하고, q 에 해당하는 ‘동물이다’ 부분을 [결론] 이라고 합니다.

또, [가정] 또는 [결론] 부분의 모든 원소의 집합을 [진리집합] 이라고 부르며, 각각 P, Q 의 대문자로 표현합니다.

참과 거짓을 판별한다면, 예로 든 명제, ‘사람은 동물이다’ 는 참이지요? 이 원리를 진리집합인 P = {x | x 는 사람} 과 Q = {y | y 는 동물} 간의 집합의 관계로 살펴 볼까요?

위의 벤다이어 그램에서 보는 것과 같이, 보라색 원의 모양인 집합 P = {x | x 는 사람} 가 분홍색과 보라색 전체인 타원 모양의 집합 Q = {y | y 는 동물} 의 내부에 포함되어 있는 진부분 집합이지요?

즉, P⊂Q 이니까, 집합P 의 원소가 되는 어떤 사람이라도, 집합 Q 의 원소인 동물이 된다는 것은 참이 됩니다.

그렇다면, 원래 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 [역] q → p 는 참이 될까요?

위의 벤다이어 그램에서 보면, P⊂Q 이고, 차집합 Q – P 부분인 분홍색 부분에 있는 동물은 [인간이 아닌 동물] 이니까, 참이 될 수 없다는 반례가 되는 것이지요. 따라서, [역] q → p 는 거짓이 됩니다.

이렇게, 벤다이어 그램에서 진리집합의 포함관계를 살펴보면, 판단하기가 어려운 명제의 참과 거짓을 쉽게 알아낼 수 있습니다.

하나만 더, 간단한 예를 들어 본다면, “음(–) 이 아닌 정수는 자연수이다” 라는 명제는 참일까요?

음(–) 이 아닌 정수의 진리집합을 P = {0, 1, 2, 3, ⋯ } 그리고 자연수의 진리집합을 Q = {1, 2, 3, ⋯ } 라 놓고, 집합의 포함관계를 보면, P⊃Q 이니까, 위의 명제는 거짓이라는 것을 알 수가 있습니다. 이 때, 차집합 P – Q 의 원소인 ' 0 ' 이 그 반례가 되는 것이지요.

[ B ] 무한소수와 무리수의 집합관계

자, 이제 그러면, 처음 질문에 대답하기 위해서, 무한소수와 무리수의 집합 관계를 살펴 볼까요?

유 리 수 (Q) rational numbers	유한소수(A) finite decimals	0.125 = 1/8	유한소수(F) finite decimals
	순환하는 무한소수(B) infinite repeating decimals	0.1333⋯ = 2/15	무한소수(R) infinite decimals
무 리 수 (I) irrational numbers	순환하지 않는 무한소수(C) infinite non-repeating decimals	3.1415⋯ = π

(1) 무한소수는 순환하는 소수와 순환하지 않는 소수로 이루어져 있으니까, R = B∪C 가 성립합니다.

(2) 또, 위의 표에서 보면, 유한소수나 순환하는 무한소수는 유리수이니까, A⊂Q, B⊂Q 그리고 (A∪B)⊂Q 가 되는 것을 알 수 있습니다.

그러면, 최초의 질문이었던, 명제 “무한소수는 무리수이다”는 참일까요?

위에서 배운 기호로 표현하자면, 명제 r → i 의 진위 여부를 판단하는 것이니까, 이 명제가 참이 되기 위하여는, 진리집합 기호로는, R⊂I 이 성립해야 되겠지요?

그런데, 무한소수 중에서 [순환하는 무한소수]는 유리수이니까, 집합 B 는 위의 명제를 거짓으로 판별할 수 있는 증거인 반례가 됩니다. 즉, 위의 명제는 거짓입니다.

이와 같은 방법으로, 집합의 포함관계를 나타내는 벤다이어 그램을 활용해서, 진위문제 유형들을 정복해 나가기 바랍니다.

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