점의 대칭이동
reflecting point graph
"선대칭과 점대칭의 두가지가 있어요"
" reflecting a point across a line or another point "
평행이동과 대칭이동은 주어진 방정식이나 부등식을 그래프로 자유자재로 해석하고 응용할 수 있는 기본적인 수학 해석능력의 가장 기초가 되는 개념입니다.
기초적인 개념과 원리부터 확실하게 이해하고 다양하게 응용력을 키워두기 바랍니다.
선이나 점에 대한 대칭이동은, 평행이동과 달리, 함수식의 그래프나 점의 이동의 원리가 동일합니다.
따라서, 이해하기 쉽도록, 우선 점의 이동으로 원리를 설명하고,
그 대칭이동의 원리가 적용되는 결과를, 뒤의 단원에서 함수 방정식의 그래프로 예를 들면서 살펴보도록 하지요.
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I 사분면 위의 한 점 P = (3, 2) 를 x 축, y 축 그리고 원점에 대해 대칭 이동시킨
새로운 점들의 좌표는 어떻게 될까요?
아래의 그래프를 볼까요?
(1) 먼저, 빨간색 점선을
따라 x 축 대칭인 점 Q 의 좌표는 어떻게 될까요?
x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까
Q = (3, –
2) 이지요?
(2) 파란색 점선을 따라 y 축 대칭인 점 R 은, y 좌표는 그대로인데
x 좌표만 부호가 반대가 되니까 R = (– 3, 2)
(3) 초록색 점선을 따라 원점 대칭인 점 S 는 x 좌표, y 좌표의 부호가
모두 반대가 되니까 S = (– 3, – 2)가 됩니다.
특히, 원점 대칭은 [x축 대칭] 그리고 동시에 (∩) [y축 대칭]의 교집합 개념이지요.
(4) 이번에는 점 R = (– 3, 2)을 기준으로, 검은색 점선을 따라 x 축 대칭인 점 S 를 볼까요?
x 좌표는 그대로인데, y 좌표만 부호가 반대가 되니까, S = (–
3, –
2)가 되지요?
위 그림의 P, Q, R, S
중 하나를 기준으로 잡고 x 축이나 y 축 또는 원점에 대칭인 점을 실제로 구해 보면서, 일반적인 규칙을 스스로 찾아 보기 바랍니다.
자 그럼 이제, 찾아낸 것을 문자를 써서,
일반화해 볼까요?
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점 (a, b)에 대하여,
(1) x 축에 대칭인 점의 좌표는 b 대신에 – b 를 대입한 (a, – b)
(2) y 축에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 대입한 (–
a, b)
(3) 원점에 대칭인 점의 좌표는 a 대신에 – a 를 그리고 동시에
(∩) b 대신에 – b 를 대입한 (–
a, – b)
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이번에는 점 P = (a, b) 를 직선에 대해 대칭이동시킨 새로운 점의 좌표는 어떻게 될까요? 아래의 그래프를 보며, x = 3 이라는 직선에 대칭시킨 점 Q 를 살펴 볼까요?
(1) y 좌표는 그대로 인데, 위 그림에서 빨간색 점선의 길이가 되는
x =
3 * 2 = 6 이라는 직선으로부터 a 만큼 왼쪽에 있으니까,
x 좌표는 6
– a 가 되겠죠? 따라서, Q = ( 6 – a , b )
이번에는, 점 R = (c, d) 를 아래 그림에서 보는 것과 같이, y =
2 라는 직선에 대칭시킨 점 S 를 알아 볼까요?
(2) x 좌표는 그대로 인데, y 좌표는 아래 그림에서 보이는
빨간색
점선의 길이인 d 만큼 y
= 2 *
2 = 4 라는 직선으로부터 아래쪽에
있으니까, 4 – d 가 되겠죠? 따라서, S = ( c , 4
– d )
만일, 점 P = (a, b)를 점 (3, 2) 에 대하여 대칭이동시키면, 새로운
점 T 의 좌표는 어떻게 될까요?
앞에서, 점 (3, 2)에 대한 대칭이동은, x
= 3 이라는 직선에 대해 대칭이동
그리고 동시에
y
= 2 라는 직선에 대칭시킨 교집합의 개념이라는
것을 배웠지요?
(3) 따라서, x 좌표는 6 – a 가 되고, y 좌표는 4
– b 가 되니까,
새로운 점 T = ( 6 – a, 4
– b )
이제, 공부한 원리를 문자로 일반화해 볼까요?
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점 (a, b)에 대하여,
(1) 직선 x
= α 에
대칭 시킨 점의 좌표는,
a 대신에 2α – a 를 대입한 ( 2α – a , b )
(2) 직선 y
= β 에 대칭 시킨 점의 좌표는,
b 대신에 2β –
b 를 대입한 ( a , 2β –
b )
(3) 점 (α, β)에 대칭 시킨 점의 좌표는, a 대신에 2α – a 를,
그리고 b 대신에 2β
– b 를 대입한 ( 2α – a , 2β
– b )
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마지막으로 y
= x 라는 직선에 대칭인 경우를
살펴 볼까요?
위의 그림에서 보는 것과 같이, 점 A 와 B 는 초록색 점선의 길이가 같으니까, 서로 x 좌표와 y 좌표를 서로 맞바꾸면 되겠지요?
따라서, 점 A = (a, b)이라면, 점 B = (b,
a)가 되고, 이 원리는 함수와 역함수의 그래프에서도 그대로 적용이 되니까, 정확하게 이해하고 암기해 두어야 합니다.
이제, 마지막으로 공부한 원리도 문자로 일반화해 볼까요?
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점 (a, b) 에 대하여, y = x 라는 직선에 대칭 시킨 점의 좌표는,
a 대신에 b, 그리고 b 대신에 a 를 대입한 (b, a)
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그러면 기본개념을 이해했는지 확인하기 위해서, 다음
문제들을 한번 풀어 볼까요?
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점 (a, b) 를 직선 y
= x 에 대칭시킨 후,
다시 y 축에 대칭시켰더니, (–
2, 5)가 되었다고
할 때, a,
b 의 값을 구하여라.
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점 (a, b) 를 오른쪽으로 3, 아래쪽으로 2 만큼 옮긴 후,
직선 y = x 에 대칭시켰더니, (a – 5, b – 3)이 되었다.
a,
b 의 값을 구하여라.
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