수열(3) 등비수열

등비수열

geometric sequences

"등비수열은 같은 값을 계속 곱해주는 거예요"

" it's a sequence multiplying the same ratio "

등비수열 또한 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열의 하나입니다.

등비수열도 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공비 r 등의 문자로 표현되는 일반화된 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 무한 등비급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.

특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.

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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?

예를 들어 2, 6, 18, 54, 162, ... 와 같이, 3 을 계속해서 곱하는 방식으로 계속해서 다음 항을 만드는 수열을 등비수열이라고 하고, 이 때의 곱해지는 일정한 상수값을 공비라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.

이 등비수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?

2,    6,   18,   54,    162, ...

∨      ∨      ∨      ∨       

x 3    x 3    x 3    x 3      

a₁ = 2

a₂ = 2 x 3

a₃ = 2 x 3 x 3

a₄ = 2 x 3 x 3 x 3

∴  a_n = 2 x 3^{(n – 1)}

위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 a_n 은 첫째 항인 a₁ 에 (n – 1) 개의 공비를 곱하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?

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등비수열 { a_n } 의 첫째항을 a₁, 공비를 r 라고 하면 n 번 째의 일반항 a_n 은 아래와 같이 구한다.

a_n = a₁ x r ^{(n – 1)}

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보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 할까요?

(1) 3, 6, 12, 24, 48, ...

a₁ = 3,   r = 2

∴  a_n = 3 x 2^(n – 1)

∴  a₁₀ = 3 x 2^(10 – 1) = 1536

(2) 2, – 6, 18, – 54, 162, ...

a₁ = 2,   r = – 3

∴  a_n = 2 x (– 3)^(n – 1)

∴  a₁₀ = 2 x (– 3)^(10 – 1) = – 2 x 3⁹

그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

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공비가 0.5 이고 제 6 항이 5 인 등비수열의 첫째항을 구하여라. 

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱  r = 0.5                          ⋯ ①

↳  a₆ = a₁ x r ^{(6 – 1)} = 5    ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[대입법]  ① ⇒ ②  :

a₁ x (0.5)^{(6 – 1)} = 5

∴  첫째항 a₁ = 5 x 2⁵ = 160

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제 5 항이 48 이고 제 10 항이 – 1536 인 등비수열의 첫 째항을 구하여라.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱  a₅ = a₁ x r ^{(5 – 1)} = 48             ⋯ ①

↳  a₁₀ = a₁ x r ^{(10 – 1)} = – 1536   ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[승제법]  ② ÷ ① :

r ⁵ = – 32 = (– 2)⁵

∴ r = – 2  ⋯ ③

[대입법]  ③ ⇒ ① :

a₁ x (– 2)⁴ = 48

16 a₁ = 48

∴  첫째항 a₁ = 3

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제 n 항이 아래와 같이 표현되는 등비수열에서, 그 첫째항과 공비를 구하여라.

a_n = 2 x 3^(2n – 1)

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(1) 주어진 일반항을 a_n = a₁ x r ^{(n – 1)} 의 표준형태로 바꾸면,

2n – 1 = 2(n – 1) + 1

∴  a_n = 2 x 3^{{2(n – 1) + 1}}

= 2 x 3^2(n – 1) x 3¹

= 2 x 3 x 3^2(n – 1)

∴  a_n = 6 x 9^{(n – 1)}

따라서,  첫째항 a₁ = 6,  공비 r = 9

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  세 수 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이루고, a, b, 36 은 이 순서로

  등비수열을 이룰 때, 두 자연수 a, b 를 구하여라.

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(1) 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이룬다고 했으니까,

2a = 8 + b   ⋯ ①

(2) 또, a, b, 36 은 이 순서로 등비수열을 이룬다고 했으니까,

b² = a x 36  ⋯ ②

(3) 이제, 일차식과 이차식을 연립으로 풀 때에는, 반드시 일차식을 이차식에 대입하는 것이 좋습니다.

[대입법]  ① ⇒ ② :

(2a – 8)² = a x 36

a² – 17a +16 = 0

(a – 16) (a – 1) = 0

∴  a = 16  or  1

(4) 이 결과를 ① 식에 대입하면,

b = 24  or  – 6

– 6 은 문제의 뜻에 맞지 않으므로 버립니다.

∴  (a, b) = (16, 24)

이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

─────────────────────────────

 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

─────────────────────────────

(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

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 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

──────────────────────────

(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.