약수와 배수(2) 배수 판별법

배수 판별법

divisibility rules

"계산력 향상과 수개념 발달에 꼭 필요해요"

" essential tools for enhancing computational efficiency

& building number sense "

배수 판별법은 어떤 수가, 간단한 자연수의 배수가 되는지 여부를 알아 내는 방법입니다.

주어진 수가 어떤 수의 배수인지를 알아 낸다면, 숫자가 주어지는 계산에서 인수 또는 약수를 찾기가 쉬워서, 간단히 공약수로 묶거나, 약분으로 쉽게 답을 구할 수가 있습니다.

배수 판별법을 이용하면, 쉽고 편리하게 암산도 할 수 있고, 어려운 숫자계산도 빠르고 정확하게 해 낼 수가 있습니다. 계산능력만 우수해도, 중고등 수학이 훨씬 쉬워지고 실수를 크게 줄일 수 있지요.

뿐만 아니라, 배수를 판별하는 원리와 개념을 정확하게 이해해 두면, 배수를 응용하는 어려운 심화문제도 충분히 해결해 낼 수가 있습니다.

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[ A ] 10의 약수와 배수를 이용하는 방법

18456은 2의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있지요?

일의 자리의 숫자가 짝수라는 사실만 가지고 어떻게 빨리 알아낼 수 있는 것일까요? 어떤 원리가 숨어 있는 것인지 알아 볼까요?

(1) 18456 = 1845 * 10 + 6 인데, 10의 배수는 항상 2의 배수이니까,

(2) 1845 *10은 당연히 2의 배수이고, 나머지 일의 자리수인 6만 2의 배수이면,

(3) 원래의 수 18456은 2의 배수가 되겠지요?

그러면, 18456은 4의 배수도 될까요?

같은 원리로, 10² = 100은 항상 4의 배수라는 것을 이용하면 됩니다.

(1) 18456 = 184 * 100 + 56인데, 100의 배수는 항상 4의 배수이니까,

(2) 184 * 100은 당연히 4의 배수이고, 나머지 56만 4의 배수이면,

(3) 원래의 수 18456은 4의 배수가 되겠지요?

이번에도 같은 원리를 계속 확장시켜 볼까요? 그러면, 18456은 8의 배수도 될까요?

(1) 10³ = 1000은 항상 8의 배수라는 것을 이용하면,

(2) 18456 = 18 * 1000 + 456인데, 1000의 배수는 항상 8의 배수니까,

(3) 18 * 1000은 당연히 8의 배수이고, 나머지 456만 8의 배수이면

(4) 원래의 수 18456은 8의 배수가 되겠지요?

이번에는, 이 원리를 약간 변형시켜서 살펴보도록 할까요?

(1) 10을 소인수로 분해하면, 10 = 2 * 5.

(2) 따라서, 10은 당연히 2의 배수일 뿐만 아니라, 5의 배수이기도 하니까,

(3) 이 원리를 응용하면, 73915는 5의 배수라는 것을 쉽게 알 수 있겠지요?

(4) 또, 소인수로 분해하면, 10³ = 2³ * 5³

(5) 따라서, 1000은 당연히 8의 배수일 뿐만 아니라, 125의 배수이기도 하니까,

(6) 이 원리를 응용하면,  93754278125는 125의 배수라는 것도 쉽게 알 수 있습니다.

[ B ] 각 자리수의 합을 이용하는 방법

21381은 3의 배수일까요? 어떤 원리로 쉽게 알아낼 수 있을까요?

10 = 3² + 1 = 9 + 1,

100 = 3² * 11 + 1 = 99 + 1,

1000 = 3² * 111 + 1 = 999 + 1, ⋯ 

이 원리를 활용하면 아주 쉽고 재미있게 알아낼 수 있습니다.

한번 볼까요?

24381 = 2 * (9999 + 1) + 4 * (999 + 1)

             + 3 * (99 + 1) + 8 * (9 + 1) + 1

(1) 2 * 9999 + 4 * 999 + 3 * 99 + 8 * 9 는 9 (= 3²) 의 배수이니까,

(2) 나머지 2 + 4 + 3 + 8 + 1만 3의 배수라면,

(3) 전체 숫자가 3의 배수가 되겠지요?

이 원리가 이해되었다면, 21381은 9의 배수인지 아닌지를, 금방 알아낼 수 있겠지요?

아래의 확인 문제를 스스로 풀어 보기 바랍니다.

[ C ] 교집합의 개념을 이용하는 방법

4728 은 6 의 배수일까요?

이번에는 6 = 2 * 3 이니까, 6 의 배수는 [2의 배수 그리고(∩) 3의 배수]라는 교집합의 원리를 이용합니다.

(1) 4728 의 일의 자리수가 짝수이고,

(2) 4 + 7 + 2 + 8 = 21.  즉,  3 의 배수이니까,

(3) 위의 두 조건을 동시에(∩) 만족하니까, 6 의 배수가 맞지요?

그러면, 4728은 12 의 배수일까요?

앞에서 설명한 원리를 이용해서, 주관식 서술형으로 그 풀이과정과 답을 스스로 풀어 보기 바랍니다.

그러면 배운 내용을 표로 정리해 볼까요?

	판     별     법
2의 배수	일의 자리수가 2의 배수
3의 배수	각 자리수의 합이 3의 배수
4의 배수	끝의 두 자리수가 4의 배수
5의 배수	일의 자리수가 5의 배수
6의 배수	짝수이고 동시에(∩) 3의 배수
7의 배수	밑의 설명 참조
8의 배수	끝의 세 자리수가 8의 배수
9의 배수	각 자리수의 합이 9의 배수

이 외의 방법들은 원리가 다소 복잡하고, 공식이라 하기에는 활용도가 낮으니, 참고로만 알아 두기 바랍니다.

[ D ] 기타의 방법 ( 1001 = 7 Χ 11 Χ 13을 이용 )

예를 들어 123123이라는 숫자를 한번 볼까요? 마치 순환소수가 반복되는 것과 같은 구조이지요?

(1) 123123 = 1001 Χ 100 Χ 1 + 1001 Χ 10 Χ 2 + 1001 Χ 3

(2) 따라서, 전체 숫자가 1001의 배수로 표현되니까,

(3) 123123은 7 또는 11 또는 13의 배수.

[ E ] Pohlman-Mass 판별법

이번에는, 16352는 7의 배수인지, Pohlman-Mass 판별법을 추가로 이용하는 방법에 대해서 알아 볼까요?

이 방법은 만일, ab 즉, 10a + b 가 7의 배수라면, a – 2b 도 7의 배수가 된다는 성질을 이용하는 것입니다.

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 10 a + b = 7k 라 놓으면,

 (a – 2b) Χ 10 = 10 a + b – 21b = 7k – 7 Χ 3b가 되므로,

 (a – 2b) Χ 10은 7의 배수.

 그런데, 10과 7은 서로 소이므로, a – 2b는 7의 배수.

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(1) 16352에 대하여, Pohlman-Mass 판별법을 그대로 적용한다면,
      1635 – 2 Χ 2 = 1631
       163 – 2 Χ 1 = 161
       16 – 2 Χ 1 = 14는 7의 배수



이번에는, 조금 더 영리하게 [ D ] 와 [ E ] 방법을 종합해서, 활용해 볼까요? 


(2) 16352에서 7의 배수가 되는 1001의 배수인, 16016을 우선 빼주고 나서,

(3) 남는 1000 이하의 숫자에 대해서만, Pohlman-Mass 판별법을 적용해 볼까요?

       16352 – 16016 = 336

(4) 이제, 7 의 배수를 빼주고 남은 숫자 336 은 33 – 2 Χ 6 = 21 이 되므로,

      Pohlman-Mass 판별법으로 7 의 배수
   
(5) 따라서, 원래의 수인 16352 = 16016 + 336 은 7 의 배수 + 7 의 배수이므로,

      16352 는 7 의 배수입니다.

그러면 기본개념을 이해했는지 확인해 보기 위해서,

다음 문제들을 한번 풀어 볼까요?

  

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 21381 은 9 의 배수일까요?

 주관식 서술형으로 풀이과정을 상세히 쓰세요.

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 484728 은 24 의 배수일까요?

 주관식 서술형으로 풀이과정을 상세히 쓰세요.

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