등차수열
arithmetic sequences
"등차수열은 계차가 항상 똑같은 값이군요"
" the first difference is always the constant "
등차수열은 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열입니다.
그러나 나열된 숫자들을 보고 수열의 규칙이나 패턴을 잘 찾아내던 학생들도 조금 복잡해진 단계의 유형들을 해결하는 데는 다양한 어려움을 겪는 것이 일반적입니다.
높은 수준의 문제를 해결해 내기 위해서는 일반화된 수열의 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공차 d 등의 문자로 표현되는 원리와 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.
특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.
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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?
예를 들어, 2, 5, 8, 11,
14, ... 와 같이, 계차가 + 3 으로 일정한 상수값을 갖는 수열을 등차수열이라고 하고, 이 때의 계차를 공차라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.
이 등차수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?
2, 5, 8,
11, 14, ...
∨ ∨ ∨ ∨
+ 3 + 3 + 3
+ 3
a1 = 2
a2 = 2 + 3
a3 = 2 + 3 + 3
a4 = 2 + 3 + 3 +
3
∴ an = 2 + 3 x (n – 1)
위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 an 은 첫째 항인 a1 에다가 (n – 1) 개의 공차를 더하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.
이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?
등차수열 { an } 의 첫째항을 a1, 공차를 d 라고 하면, n 번 째의 일반항 an 은 아래와 같이 구한다.
an = a1 + (n – 1) d
보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 합시다.
(1) 8, 3, – 2, – 7, – 12, ...
a1 = 8, d =
– 5
∴ an = 8 + (n
– 1) x (– 5) = 13 – 5n
∴ a10 = 8 + (10 – 1)
x (– 5) = – 37
(2) 17, 14, 11, 8, 5, ...
a1 = 17, d =
– 3
∴ an = 17 + (n
– 1) x (– 3) = 20 – 3n
∴ a10 = 17 + (10 – 1)
x (– 3) = – 10
그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?
공차가 3 이고 제 11 항이 28 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.
(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?
↱ d = 3 ⋯ ①
↳ a11
= a1
+ (11 – 1) x d = 28 ⋯ ②
(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,
[대입법] ① ⇒ ② :
a1 + (11 – 1) x 3 = 28
∴ a1 = – 2
제 5 항이 28 이고 제 17 항이 88 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.
(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?
↱ a5
= a1
+ (5 – 1) x d = 28 ⋯ ①
↳ a17
= a1
+ (17 – 1) x d = 88 ⋯ ②
(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,
[가감법] ② – ① :
(16 – 4) x d = 60
∴ d = 5 ⋯ ③
[대입법] ③ ⇒ ① :
a1 + 4 x 5 = 28
∴ a1 = 8
등차수열을 이루는 세 자연수 a, b, c 가 아래의 조건을 만족할 때,
그 세 자연수
a, b, c 를 구하여라.
↱ a + b + c
= 12 ⋯ ①
↳ a2 + b2 + c2 = 66 ⋯ ②
(1) 세 자연수가 등차수열을 이룬다고 했으니까,
a + c = 2b ⋯ ③
(2)
이제, 이 식을
주어진 두 식에
대입하면,
[대입법] ③ ⇒ ① :
b + 2b = 12
∴ b = 4
(3) 따라서, 공차를 d 를 이용해서 a 와 c 를 바꿔준 다음,
a = 4 – d
c = 4 + d
(4) 이를 ② 식에 대입하면, [대입법]
(4 – d)2
+ 42 + (4
+ d)2 = 66
– 8d + d 2 + 8d +
d 2 = 18
d 2 = 9
∴ d = ±3
∴ (a, b,
c) = (1, 4, 7) or (7,
4, 1)
