수직인 직선의 기울기
slope of perpendicular lines
"수직인 두 직선의 기울기 곱은 -1"
" slopes of perpendicular lines are
negative reciprocals "
수직인 두 직선의 기울기를 서로 곱하면, 왜 항상 – 1 이 성립하는지에 대한 질문이 있어, 이에 대한 보충 설명을 하도록 합니다.
고등 수학의 이과 과정까지 공부를 한 학생이라면, 아래의 방법 등으로 간단하게 증명할 수 있습니다.
(a) 행렬을 이용한 90˚ 회전 변환 (rotation matrix)
(b) 삼각함수의 덧셈정리를 활용한 tan (α – β) = π / 2 (formula for the difference of tangents)
(c) 벡터의 내적을 이용한A • B = |A| |B| cos θ = 0 (inner product of vectors)
그러나, 일반적인 중학생 또는 문과 고등학생의 수준에 맞도록, (1) 도형기하 (synthetic geometry) 와 (2) 해석기하 (coordinate geometry) 의 2 가지 증명 방법만으로 설명하고자 합니다.
물론, 기하를 이용한 증명 과정의 설명이 더 복잡하고 지루할 수도 있습니다만, ' 좌표평면에서의 계산' 을 이용하는 해석기하의 방법은, 고등수학에서 배우는 내용이니까, 응용력의 향상을 위해서라도 철저하게 기본개념과 해결과정을 이해해 두기 바랍니다.
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[ A ] 도형 기하 (synthetic geometry) 의 방법
직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까, 원점을 지나면서 기울기가 서로 수직인 두 직선으로 예를 들어서, 두 기울기의 곱 = – 1 이라는 것을 증명하더라도, 일반성을 훼손하지 않겠지요?
그러면, 아래의 그림에서 원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.
(1) 아래의 그래프와 같이 파란 직선 위의 한 점 B 를 잡고 이 점에서 x 축으로 수선을 내려 수선의 발을 A 라 합니다.
(2) 이번에는, 빨간색 직선 위에 OB = OE 가 되도록 점 E 를 잡습니다. 또, 점 E 에서 y 축으로 수선을 내려 수선의 발을 D 라고 합니다.
(3) 위 그림에서 보이는, 파란색과 빨간색의 두 직각삼각형 ΔOAB 와 ΔODE 는 서로 합동 즉, 기호로는 ΔOAB ≡ ΔODE 입니다. 왜냐하면, 아래와 같이 직각삼각형의 [RHA] 합동조건 혹은 삼각형의 [AAS] 합동조건이 성립하기 때문입니다.
(a) 수선을 내렸으니까, ∠A = ∠D = ∠R = 90˚
☞ Right angle (or Angle)
(b) 처음부터 길이가 같도록 잡았으니까, OB = OE
☞ Hypotenuse (or Side)
(c) 또, ∠EOD +∠DOB = ∠DOB + ∠BOA = ∠R = 90˚ 이므로, ∠EOD = ∠BOA
☞ Angle
♧ 참고로 우리나라에서는 직각삼각형의 [RHA] 합동조건을 사용하고 있지만, 대부분의 영어권 국가에서는 삼각형의 [AAS] 합동조건의 방법으로 가르치고 있습니다.
(4) 두 직각 삼각형은 서로 합동이니까, AB = DE 이고 OA = OD 가 됩니다.
(5) 여기서, 파란색 직선의 기울기는 AB ÷ OA 이고, 파란색 직선의 기울기는 DE ÷ (– OD) 이므로, 두 직선의 기울기를 서로 곱하면 – 1 이 됩니다.
(AB ÷ OA) x {OD ÷ (–DE)}
= (AB ÷ OA) x {OA ÷ (–AB)}
= – 1
[ B ] 해석 기하 (coordinate geometry) 의 방법
직선을 평행 이동시켜도 그 기울기는 변하지 않으니까, 앞에서와 같이, 원점을 지나는 빨간색과 파란색의 두 직선을 가지고 설명합니다.
해석기하에서는 상대적으로 계산이 복잡해지기 때문에, 일반성을 훼손하지 않는 범위내에서 최소의 미지수를 사용해야 좋습니다.
(1) 아래 그림에서 파란색 직선의 기울기를 k, 빨간 직선의 기울기를 m 이라 정하고, x 축 위에 두 점 C = (a, 0) 와 D = (b, 0) 를 잡습니다.
(2) 그리고, 두 점 C, D 에서 검은색 점선으로 표시된 수선을 올려서, 만나는 파란 직선 위의 점을 A 그리고 빨간색 직선 위에 점을 B 라고 하면,
(3) 직선 위에 있는 점들은 직선식을 만족해야 하니까, 문자로 된 기울기의 값을 적용하면, A = (a, ka) 그리고 B = (b, mb) 라고 놓을 수 있겠지요?
문자로 정하는 것이니까, x 좌표나 기울기의 부호 (+/–) 와 전혀 상관이 없다는 점에 유의하세요.
(4) 각 점들의 좌표를 대입하여, 직각삼각형 세변의 길이를 구하면,
OA2 = a2 + (ka)2
OB2 = b2 + (mb)2
AB2 = (a – b)2 + (ka – mb)2
(5) 이제, 위 그림에서 보라색의 칠해진 ΔOAB 를 보면 직각삼각형이니까, [피타고라스의 정리] 를 적용하면,
OA2 + OB2 = AB2
a2 + (ka)2 + b2 + (mb)2 = (a – b)2 + (ka – mb)2
0 = – 2ab – 2kamb
0 = – 2ab (1 + km)
(5) 그런데, 위 식에서 a 도 b 도 0 이 아니니까, km = – 1. 즉, 두 기울기의 곱은 – 1.
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