일차방정식(1) 일차방정식

일차방정식

linear equations

"이항해서 x 를 구한다는 게 등식의 원리를 이용하는 것이었군요"

" finding x by moving to other side

is based on the properties of equality "

초등과정까지는 간단한 자연수의 답을 구하는 문제들이 대부분이라, 영리하지만 수학적 개념이 부족한 학생 중에는, 미리 예상 가능한 자연수 몇 개만 암산으로 슬쩍 대입해서 구해 버리는 경우가 종종 있습니다.

그러나, 중학수학부터는 문자를 사용해 일반화해 나가는 진정한 수학이 시작되기 때문에, 기본개념과 원리를 제대로 익혀 두어야, 심화 고등수학까지 어려움 없이 스스로 공부해 나갈 수 있습니다.

응용력이 생길 때까지는, 숫자로 된 간단한 일차방정식이라도 등식의 원리를 따져 보면서 풀고, 실생활 응용 유형의 문장을 방정식으로 표현하는 연습을 꾸준히 해 두기 바랍니다.

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기차표 4 장을 샀더니, 3 만원을 할인해 주어서 모두 17 만원을 지불했을 때, 표 1 장당 원래 가격은 얼마이었는지를 구하려면, 기차표 1 장당 가격을 x 만원이라고 놓고, 아래와 같이 식을 세울 수 있습니다.

4x – 3 = 17

이 때, 이 x 를 변수라 부르고, x 의 최고차항이 1 차이니까, 일차방정식이라고 합니다.

이제, 이 일차방정식을 풀려면, (a) 양변에 3 을 똑같이 더해 준 다음, (b) 양변을 똑같이 4 로 나누어 주면 되겠지요?

(a) 4x – 3 + 3 = 17 + 3    ∴   4x  = 20

(b) 4x ÷ 4 = 20 ÷ 4    ∴   x  = 5

따라서, 답은 5 만원. 

이렇게 풀어 낼 수 있는 원리는, 양변을 똑같은 수로 더하고 빼거나, 곱하거나 나누어도

원래의 등식은 변하지 않는 않는다는 등식의 원리를 이용한 것입니다.

여기서, 등식의 성질 (properties of equality) 을 한 번 정리해 두도록 할까요?

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실수 a, b, c 에 대하여, a = b 라는 등식이 성립할 때,

       (1)  a + c = b + c         ☞  (addition property)

       (2)  a – c = b – c         ☞  (subtraction property)

       (3)  a x c = b x c         ☞  (multiplication property)

       (4)  a ÷ c = b ÷ c  if c ≠ 0   ☞  (division property) 

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일차방정식 5x – 2 = 2x + 7 을 푸는 과정에서 한 변에 x 항들을, 다른 변에는 숫자인 상수항들을 모아 주고 답을 구할 때, 어떤 원리들이 사용되었는지 다시 한번 단계별로 살펴보도록 하지요.

5x – 2 – 2x = 2x + 7 – 2x    subtract 2x from each side

3x – 2 = 7                           simplify

3x – 2 + 2 = 7 + 2              add 2 to each side

3x  = 9                                simplify

3x  ÷ 3 = 9 ÷ 3                   divide both sides by 3

∴   x = 3

그러면, 계산문제를 하나 풀어 보도록 할까요?

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 다음 일차방정식의 해를 구하여라.

(4x – 1) ÷ 2 – 2{3x – (1 – 2x)} ÷ 3 = 1.5 – x

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(1) 분수나 소수의 계수들이 있는 경우에는 우선, 분모의 최소공배수를 곱해 주어야 하겠지요? 등식의 성질에 따라, 6 을 양변에 곱해 주고 정리하면,

3(4x – 1) – 4{3x – (1 – 2x)} = 9 – 6x 

– 3 + 4 – 8x = 9 – 6x

(2) 이제, 등식의 원리를 이용해서, 양변에 8x 를 더해 주고 9 를 빼주면, 


1 – 8x + 8x = 9 – 6x + 8x        add 8x to both sides

1 = 9 + 2x                               simplify

1 – 9 = 9 + 2x – 9                   subtract 9 from each side

– 8 = 2x                                  simplify

– 8 ÷ 2 = 2x ÷ 2                     divide both sides by 2

∴   x = – 4

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약수와 배수(3) 최대공약수와 최소공배수

최대공약수와 최소공배수

GCF and LCM

"두 정수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면

그 두 수의 곱과 같아요"

" product of any two integers

is equal to

the product of their associated GCF and LCM "

인수, 약수와 배수 그리고 최대공약수와 최소공배수의 기본 개념과 원리는 중등수준의 정수 범위에서 만이 아니라,

문자로 일반화시키면 곱셈공식과 인수분해의 기초원리가 되는 것이며, 분수식의 계산이나 고등수학의 다항식에서도 그대로 적용됩니다.

특히, 정수와 관련된 문제는, 중고등수학 전반에 걸쳐 난이도가 높은 심화문제로 결합되어 수시로 출제되니, 정확하게 이해하고 응용력을 키워두어야 합니다.

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앞의 [약수와 배수] 단원에서 배웠던 것을 복습해 볼까요?

90 과 132는 소인수로 분해하면 90 = 2 x 3² x 5 이고, 132 = 2² x 3 x 11 이니까,

교집합 (∩) 의 개념을 이용해, 90 그리고 동시에 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서

가장 큰 2 x 3 = 6 을 최대공약수 (GCF),

그리고 합집합 (∪) 의 개념을 이용해 90 또는 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서

가장 작은 2² x 3² x 5 x 11 을 최소공배수 (LCM) 라 한다는 것을 배웠습니다.

이제, 이 구조를 좀 더 자세히 살펴 보기 위해서, 두 수와 L 을 G 를 사용해서 다시 표현해 보도록 할까요?

90 = 3 x 5 x G

132 = 2 x 11 x G

L = 2² x 3² x 5 x 11

= 2 x 3 x 5 x 11 x G

따라서, 계산되는 구조를 보면, 다음과 같은 규칙을 발견할 수 있습니다.

90 x 132

= (3 x 5 x G) x (2 x 11 x G)

= 2 x 3 x 5 x 11 x G x G

= 2 x 3 x 5 x 11 x G²

= L x G

알아낸 이 내용을, 문자로 일반화시켜 볼까요?

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두 정수 A, B 의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L 이라 할 때, A = a x G 그리고 B = b x G (a, b 는 서로 소) 라고 놓으면,

(1) A x B = L x G 이고,  

(2) G²  은 A x B 의 약수

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이 원리를 이용하는 예제를 살펴 볼까요?

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서로소가 아닌 두 자연수 A, B (A > B) 의 곱이 726 일 때, 두 수 A, B 를 구하여라.

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(1) 앞에서 배운 대로, 우선 726 을 소인수 분해 해야겠지요?

726 = 2 x 3 x 11²

(2) A = a x G , B = b x G 라 놓으면 두 수의 곱에는 G² 가 포함되어 있으니까,

 

G = 11 이고, 나머지가 서로소인 a, b 의 곱이겠지요?

(3) 서로소인 a, b 는 3 과 2 뿐만이 아니라, 6 과 1 도 있네요!

따라서, 구하는 두 자연수는,

A = 3 x 11 = 33,  B = 2 x 11 = 22

또는

A = 6 x 11 = 66,  B = 1 x 11 = 11 이므로,

답은 (A, B) = (33, 22) or (66, 11).

연립방정식(1) 연립일차방정식

연립일차방정식

systems of linear equations

"컴퓨터공학이나 경제학 등 많은 분야에서 활용돼요"

" are used in various fields

including computer science and economics "

연립방정식 또한, 대부분의 많은 중고등학생들이 정확하게 풀지 못하고, 매우 어려워하는 단원의 하나입니다.

영어로 ‘systems of ~’ 라고 하듯이, 아무리 쉬운 일차의 연립방정식이라도, 전략적인 생각도 없이 그냥 풀기만 해서는 실수도 많고, 시간도 많이 걸리는 유형입니다.

따라서, 가장 기초적인 이원일차 연립방정식부터, 전략적 사고와 접근방법을 확실하게 이해하고, 충분히 익혀 두어야 합니다.

특히, 연립일차방정식을 직선의 위치관계라는 그래프의 개념과 함께 이해하고 응용력을 키워 두어야, 고등수학에서 나타나는 다양한 유형들을 쉽게 해결할 수 있습니다.

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[ 1 ] 이원 일차 연립방정식

한자를 사용한 표현이지만, 일반적으로 미지수의 개수를 [원]이라 하고, 주어진 방정식 중 최고차 항을 [차]라고 합니다.

따라서, [이원 일차]라는 뜻은 미지수가 2개이고, 최고차 항이 일차이니까, 주어진 서로 다른 식의 개수가 미지수의 개수와 같은 2개이어야, 표준적인 방법으로 한 쌍의 해가 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

만일 [삼원 일차]라면 미지수가 3개이니까, 주어진 서로 다른 식의 개수가 3개이어야, 표준적인 방법으로 한 쌍의 해가 구해진다는 뜻이지요.

참고로, 주어진 서로 다른 식의 개수가 미지수의 개수보다 1개가 적은 경우에는, 표준적인 방법으로 미지수들의 비례값까지는 구할 수 있습니다.

쉬운 예를 하나 볼까요? 다음과 같은 연립방정식을 풀기 위하여도, 우선 전략을 생각하는 것이 중요합니다.

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다음 연립방정식을 풀어라.

            ↱ y = – 2x + 1

            ↳ y = (3/2)x – 6

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(1) 우선, 주어진 연립방정식에 아래와 같이 번호를 붙입니다. 그래야, 순서에 따라 전략적인 방법을 간단하게 식으로 나타낼 수 있어요.

       y = – 2x + 1 ⋯ ①,      y = (3/2)x – 6  ⋯ ②

(2) 두 식을 같다고 놓는다면,  [등치법] ① = ② :

     

     –2x + 1 = (3/2)x – 6를 풀면 되겠지요?

      정리해서 계산하면,  x = 2 ⋯ ③

(3) 구해진 x = 2 ⋯ ③ 를 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,

      [대입법] ③ ⇒ ① :

        y = –2 Χ 2 + 1 = –3.   따라서,  (x, y) = (2, –3)

참고로, 대입법이나 가감법 등의 용어는 개정된 교과과정에서는 사용하지 않는 용어이지만, 중국의 영향력이 커지는 국제화 시대에는 간결한 한자말의 사용도 무방하다고 생각됩니다.

다른 예를 하나 볼까요? 이번에는 어떤 전략이 필요할까요?

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다음 연립방정식을 풀어라.

            ↱  x + 2y = 1

            ↳ 3x – 4y = 13

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(1) 우선, 각각의 식에 번호를 부여합니다.

       x + 2y = 1 ⋯ ①,    3x – 4y = 13  ⋯ ②

(2) 식을 살펴보니까,  x 보다는 y 를 소거하는 것이 편하겠지요?

      [가감법] ① Χ 2 + ② :

 

     y 항은 이미 소거된 것이니까, x 항과 상수항만 계산하면

        x * 2 + 3 x = 1 * 2 + 13

     정리해서 계산하면,  x = 3 ⋯ ③

(3) 구해진 x = 3을 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,

     [대입법] ③ ⇒ ① :

 

      3 + 2 y = 1.   따라서,  (x, y) = (3, –1)

처음에 예를 든 연립방정식은  y = –2x + 1 = x – 6 와 같이 [ A = B = C ]의 꼴로 표현되기도 합니다. 이 때에는,

            ↱ A = B              ↱ A = B              ↱ A = C

            ↳ A = C     or      ↳ B = C     or      ↳ B = C   의 3가지 연립방식 중에서

 가장 계산하기 쉬운 것으로, 골라서 풀면 됩니다.

이번에는, 계수가 소수나 분수로 되어 있는 연립방정식을 풀어 볼까요?

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다음 연립방정식을 풀어라.

            ↱ (1/3)x – (1/2)y = 1/6

            ↳   0.4x  –  0.3y  = 1.1

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(1) 우선, 각각의 식마다 번호를 부여하고, 분수인 경우에는 양변에 최소공배수를, 소수인 경우에는, 10의 거듭제곱을 곱해서, 계산하기 쉬운 형태로 고친 후에, 풀면 됩니다.

        2x – 3y = 1 ⋯ ①,    4x – 3y = 11  ⋯ ②

(2) 이렇게 바꾸니,  y 부터 소거하는 것이 쉽게 보이지요?

     [가감법]  ② – ① :

 

     y 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면

         2x = 10.   따라서,  x = 5  ⋯ ③

(3) 구해진 x = 5 를 주어진 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ①식에 대입해서 풀면,

     [대입법] ③ ⇒ ① :

        2 * 5 – 3 y = 1.  따라서,  (x, y) = (5, 3)

[ 2 ] 삼원 일차 연립방정식

이제, 더 복잡한 삼원 일차 연립방정식을 풀어 볼까요?

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다음 연립방정식을 풀어라.

            ↱ 3x + 2y – z = 12

                x  + y + z =  6

            ↳  x  – 2y – z = – 2

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(1) 우선, 순서대로 번호를 ①, ②, ③ 부여한 다음, 미지수를 3개 ⇒ 2개 ⇒ 1개로 줄여 나가는 방법과, 어떤 문자부터 소거하는 것이 편리할까를 전략적으로 생각해야 합니다.

(2) 식을 살펴보니, z 부터 소거하는 것이 좋겠지요?

      [가감법] ① + ② :

      z 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면

 

      4x + 3y = 18  ⋯ ④

(3) 나머지 다른 식들에서, 또 z 를 소거해야 하겠지요?

      [가감법] ② + ③ :

      z 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면

       2x – y = 4  ⋯ ⑤

(4) 이제, 이원 일차 연립방정식이 되었지요?

            ↱  4x + 3y = 18  ⋯ ④

            ↳  2x  – y  =  4   ⋯ ⑤

      

(5) 이번에는 y 를 소거할까요?

      [가감법] ④ + ⑤ Χ 3 :

      y 는 이미 소거된 것이니까, 나머지 항만 계산하면

       4x + 2x * 3 = 18 + 4 * 3

      정리해서 계산하면,  x = 3 ⋯ ⑥

(6) 구해진 x = 3 을 남은 2개의 식 중에서, 보다 간단한 ⑤식에 대입해서 풀면,

      [대입법] ⑥ ⇒ ⑤ :

        2 Χ 3 – y = 4.  따라서,  y = 2  ⋯ ⑦

(7) 구해진 x = 3 과  y = 2 를 처음 3개의 식 중에서, 보다 간단한 ②식에 대입해서 풀면,

      [대입법] ⑥, ⑦ ⇒ ② :

       z = 1.  따라서,  (x, y, z) = (3, 2, 1)

위에서 설명하고 예를 든, [빨간색의 전략 표현식]은 각 단계마다 반드시 별도의 한 줄에 표시하고, 전략을 생각하면서 풀어 나가기 바랍니다.

이러한 전략적 사고가 있어야만, 상당히 복잡해 보이는 연립방정식도 쉽고 빠르게, 그리고 틀리지 않고, 풀어낼 수 있습니다.

그러면 이제, 확인문제를 한번 풀어 볼까요? 

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 각 식에 순서대로 번호를 부여하고, 단계별로 전략 기호를 표시하는 방법으로

 다음 연립방정식을 풀어라.

            ↱    x  + 2y – 3z = – 1

              – 2x  + y  + z  =  4

            ↳    x  –  y  – 2z =  3

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