약수와 배수(5) 약수의 개수와 합

약수의 개수와 합

the number and sum of factors

"아래 도표의 이미지를 기억하면 아주 쉬워요"

" just keep in mind

the image of the table shown below "

양 (+) 의 약수의 개수와 그 합의 문제는, 중고등과정 수학에서 수시로 등장하는 중요한 유형입니다.

중학 수학에서의 완전 제곱수 관련 문제나 고등과정에서의 수열의 합 등에서, 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.

반드시 아래에서 설명되는 도표 이미지를 기억해 두고 정확한 개념, 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 해 두어야 합니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

[ A ] 양(+)의 약수의 개수 (the number of positive factors)

예를 들어, 12 의 양 (+) 의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12 이지요? 그럼 이 숫자들은 어떤 원리에서 구해지는 걸까요?

12 = 2² x 3 이니까, 아래의 표에서 보는 것과 같이, 소인수인 2 와 3 이 서로 곱해지면서 약수를 만들어 냅니다.

	20 = 1	21 = 2	22
30 = 1	1 x 1	1 x 2	1 x 22
31 = 3	3 x 1	3 x 2	3 x 22

(1) 위의 표에서 보면, 소수 2 가 곱해지는 경우의 수는 간단하게 지수 숫자의 종류로 표현한다면, 0, 1, 2 의 3 가지이고, 소수 3 이 곱해지는 경우의 수는 지수의 숫자로 0 또는 1 의 2 가지입니다.

(2) 따라서, 서로 곱해지는 전체 경우의 수는 3 x 2 = 6 가지가 됩니다. 위의 표에서, 이 원리를 자세히 들여다 보면, 각 소인수의 최고차 지수에 1 을 더한 숫자들의 곱이 된다는 것을 알 수 있습니다.

(2 + 1) x (1 + 1) = 6

이 원리를 이용해서, 이번에는 360 의 양의 약수의 개수를 구해 볼까요?

(1) 소인수분해를 해서, 지수형태의 소수들의 곱으로 바꾸면,

360 = 2³ x 3² x 5 = 2³ x 3² x 5¹

(2) 따라서, 양의 약수의 개수는

(3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 24

[ B ] 양(+)의 약수의 총합 (sum of positive factors)

그러면, 위에서 공부했던 예제의 12 = 2² x 3 의 양 (+) 의 약수들의 총합은 어떻게 구할 수 있을까요? 바로, 위의 도표에서 푸르게 색칠된 셀들의 합을 구하면 됩니다.

1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 2² + 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 2²

= 1 x (1 + 2 + 2²) + 3 x (1 + 2 + 2²)

= (1 + 3) x (1 + 2 + 2²)

= 28

이제, 공부한 내용을, 문자를 써서 공식으로 일반화시켜 볼까요?

---

자연수 N = a^α x b^β x ⋯ x z^ω 로 소인수분해가 될 때,

(1) N 의 양의 약수의 개수는,

(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1)

(2) N 의 양의 약수의 총합은,

(1 + a + a² + ⋯ + a^α) x (1 + b + b² + ⋯ + b^β) x

⋯ x (1 + z + z² + ⋯ + z^ω) 

---

약수와 배수(3) 최대공약수와 최소공배수

최대공약수와 최소공배수

GCF and LCM

"두 정수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면

그 두 수의 곱과 같아요"

" product of any two integers

is equal to

the product of their associated GCF and LCM "

인수, 약수와 배수 그리고 최대공약수와 최소공배수의 기본 개념과 원리는 중등수준의 정수 범위에서 만이 아니라,

문자로 일반화시키면 곱셈공식과 인수분해의 기초원리가 되는 것이며, 분수식의 계산이나 고등수학의 다항식에서도 그대로 적용됩니다.

특히, 정수와 관련된 문제는, 중고등수학 전반에 걸쳐 난이도가 높은 심화문제로 결합되어 수시로 출제되니, 정확하게 이해하고 응용력을 키워두어야 합니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

앞의 [약수와 배수] 단원에서 배웠던 것을 복습해 볼까요?

90 과 132는 소인수로 분해하면 90 = 2 x 3² x 5 이고, 132 = 2² x 3 x 11 이니까,

교집합 (∩) 의 개념을 이용해, 90 그리고 동시에 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서

가장 큰 2 x 3 = 6 을 최대공약수 (GCF),

그리고 합집합 (∪) 의 개념을 이용해 90 또는 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서

가장 작은 2² x 3² x 5 x 11 을 최소공배수 (LCM) 라 한다는 것을 배웠습니다.

이제, 이 구조를 좀 더 자세히 살펴 보기 위해서, 두 수와 L 을 G 를 사용해서 다시 표현해 보도록 할까요?

90 = 3 x 5 x G

132 = 2 x 11 x G

L = 2² x 3² x 5 x 11

= 2 x 3 x 5 x 11 x G

따라서, 계산되는 구조를 보면, 다음과 같은 규칙을 발견할 수 있습니다.

90 x 132

= (3 x 5 x G) x (2 x 11 x G)

= 2 x 3 x 5 x 11 x G x G

= 2 x 3 x 5 x 11 x G²

= L x G

알아낸 이 내용을, 문자로 일반화시켜 볼까요?

---

두 정수 A, B 의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L 이라 할 때, A = a x G 그리고 B = b x G (a, b 는 서로 소) 라고 놓으면,

(1) A x B = L x G 이고,  

(2) G²  은 A x B 의 약수

---

이 원리를 이용하는 예제를 살펴 볼까요?

---

서로소가 아닌 두 자연수 A, B (A > B) 의 곱이 726 일 때, 두 수 A, B 를 구하여라.

---

(1) 앞에서 배운 대로, 우선 726 을 소인수 분해 해야겠지요?

726 = 2 x 3 x 11²

(2) A = a x G , B = b x G 라 놓으면 두 수의 곱에는 G² 가 포함되어 있으니까,

 

G = 11 이고, 나머지가 서로소인 a, b 의 곱이겠지요?

(3) 서로소인 a, b 는 3 과 2 뿐만이 아니라, 6 과 1 도 있네요!

따라서, 구하는 두 자연수는,

A = 3 x 11 = 33,  B = 2 x 11 = 22

또는

A = 6 x 11 = 66,  B = 1 x 11 = 11 이므로,

답은 (A, B) = (33, 22) or (66, 11).

약수와 배수(1) 인수, 약수와 배수

약수와 배수

factors and multiples

"소수를 알면

숫자가 쉽게 보여요"

" having learned prime factors,

any integer looks easy "

정수범위 내에서, 소수 (prime number) 는 더 이상 나누어지지 않는 기초단위라서, 숫자를 이해하는 데 아주 편리합니다.

정수를 소수들의 곱으로 분해해 보면, 숫자들 사이에 공통적인 요소를 쉽게 알아낼 수 있어, 공약수나 공배수를 찾아 내서 영리한 계산을 하는 데에도 큰 도움이 되지요.

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하면, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각하고 처리할 수 있어서, 일반적인 원리나 공식을 유도해 내거나 응용력을 향상시킬 수 있습니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

예를 들어 14 를 3 으로 나누면 몫이 4 이고 나머지가 2 라고 할 때, 초등 산수에서는 14 ÷ 3 = 4 ⋯ 2 와 같은 표현을 쓰지만, 중학수학부터는 반드시 14 = 3 * 4 + 2 라는 하나의 식으로 나타낼 줄 알아야 합니다.

이 내용을 문자로 일반화시켜 볼까요?

문자나 수학기호만 나오면 멀미(^^)가 난다구요?

처음에는 어렵겠지만, 조금씩 익숙해지면, ‘어쩌면 이렇게 간단하면서도 논리적으로 정교한 언어가 만들어 졌을까’ 하고 경탄하게 될 겁니다. 진정한 수학의 재미는 기호와 문자를 이용한 일반화에 있으니까요.

위에서 예를 들었던 나눗셈을 문자로 일반화시킨다면, 'A 를 0 이 아닌 B 로 나누면, 몫이 Q(quotient)이고, 나머지가 R(remainder)이다' 라고 하고, 식으로는 A = B * Q + R 로 나타낼 수 있습니다. 

이번에는 나누어 떨어지는 경우를 생각해 볼까요?

나누어 떨어진다면, 나머지가 없겠지요?

즉, 문자로 나타내면 R = 0 이니까, 식으로는 A = B x Q 라고 표현할 수 있겠지요?

이렇게 나머지가 없이 나누어 떨어질 때, A 는 B 와 Q 의 곱이니까, A 는 B 또는Q 의 배수라고 합니다. 또, B 와 Q 는 A 의 약수 또는 인수라고 합니다. 

특히, 중학 수학부터는 A, B, Q 가 모두 정수인 경우로 확장됩니다.

예를 들자면, 6 = 2 * 3 = 1 * 6 = (– 2) * (– 3) = (– 1) * (– 6) 이 성립하니까,

1, 2, 3, 6, – 1, – 2, – 3, – 6 은 모두 6 의 약수가 됩니다.

또, – 3 의 경우도 – 3 = 1 x (– 3) = 3 x (– 1) 이 성립하니까,

1, 3, – 1, – 3, 은 모두 – 3 의 약수가 되지요. 

(1) 짝수와 홀수

예를 들어, A = 2Q 라고 표현하면 A가 2 의 배수 즉, 짝수라는 것을 나타내고, A = 2Q – 1 인 경우는 홀수를 나타내는 것입니다.

마찬가지로, 중학 수학부터는 A, Q 가 모두 정수인 경우로 확장되니까, Q 가 0 이거나 음수(–) 인 경우도 포함되므로, 2, 4, 6 ⋯ 만이 아니라, 0, – 2, – 4, – 6 ⋯ 도 짝수라는 점에 주의해야 합니다. 

(2) 소수와 합성수

'소수' 는 1 과 자기자신 이외에는 약수를 갖지 않는, 1 보다 큰 자연수(* 정수가 아니라는 점에 주의) 를 말합니다. 이 소수들은 '합성수' 를 분해해서 보거나, 두 개 이상의 합성수들 사이에서 공통되는 인수를 알아내는 데 아주 유용합니다. 

'합성수' 는 '1 과 자기자신 이외에, 적어도 하나 이상의 다른 양(+) 의 약수를 갖는, 1 보다 큰 자연수' 라고 정의하니까, '1 보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수' 라고 말하기도 합니다. 

따라서 자연수는 '1' 과 '소수들' 과 '합성수들' 의 3 가지로만 이루어져 있다고 할 수 있겠지요? 

예를 들어, 90 과 132 는 어떤 공통점을 가지고 있을까요?

90 과 132 를 소수로 분해해 보면 되겠지요? 소인수로 분해하면, 서로 2 와 3 이라는 공통점 즉, 이라는 공통인수(공약수)를 가집니다. 

90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 3² x 5

132 = 2 x 2 x 3 x 11 = 2² x 3 x 11

여기서, (1) 교집합의 개념을 이용해서, 90 그리고(∩) 132 가 동시에 갖고 있는 약수 중에서 가장 큰 것인, 2 x 3 = 6 을 최대공약수(G),

(2) 합집합의 개념을 이용해, 90 또는(∪) 132 를 포함할 수 있는 배수 중에서 가장 작은 것인 2² x 3² x 5 x 11 = 1980 을 최소공배수(L) 라고 하고,

기호로는 G (90, 132) = 6 과 L (90,132) = 1980 와 같이 사용합니다. 

모든 정수를 이렇게 소수로 분해 (소인수분해) 하고 나면, 여러 개의 수 사이의 공약수나 공배수를 찾기가 쉬워서, 공통인수로 약분을 하거나 분배법칙으로 묶어서 계산할 때, 아주 편리합니다. 

예를 들어 계산문제를 한 번 볼까요?

2 나 3 과 같은 소인수를 문자라고 간주하고, 숫자도 문자들의 곱으로 이루어진 식으로 생각해 보세요. 공통인수로 묶거나 약분으로 정리가 모두 끝난 다음, 마지막에만 간단히 계산하면 모든 문제가 너무 쉽고 간편해 지지요.

132 ÷ 18 x 5 – 90 x 11 ÷ 36

= (2 * 2 * 3 * 11) ÷ (2 * 3 * 3) * 5 – (2 * 3 * 3 * 5) * 11 ÷ (2 * 2 * 3 * 3)

= (2 * 2 * 3 * 11 * 5) / (2 * 3 * 3) – (2 * 3 * 3 * 5 * 11) / (2 * 2 * 3 * 3)

약분해 주면

= (2 * 11 * 5) / 3 – (5 * 11) / 2

공통인수를 묶어주면

= 5 * 11 * (2/3 – 1/2)

최소공배수(L)로 분모를 통분하면

= 5 * 11 * (4/6 – 3/6)

= 5 * 11 * 1/6

= 55/6

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

Please click the following link

to read English translation.

http://jaymathbee.blogspot.kr

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧