수열(2) 등차수열

  

등차수열

arithmetic sequences

"등차수열은 계차가 항상 똑같은 값이군요"

" the first difference is always the constant "

등차수열은 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열입니다.

그러나 나열된 숫자들을 보고 수열의 규칙이나 패턴을 잘 찾아내던 학생들도 조금 복잡해진 단계의 유형들을 해결하는 데는 다양한 어려움을 겪는 것이 일반적입니다.

높은 수준의 문제를 해결해 내기 위해서는 일반화된 수열의 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공차 d 등의 문자로 표현되는 원리와 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.

특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.

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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?

예를 들어, 2, 5, 8, 11, 14, ... 와 같이, 계차가 + 3 으로 일정한 상수값을 갖는 수열을 등차수열이라고 하고, 이 때의 계차를 공차라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.

이 등차수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?

2,     5,     8,    11,   14, ...

∨      ∨      ∨      ∨     

+ 3   + 3    + 3   + 3      

a₁ = 2

a₂ = 2 + 3

a₃ = 2 + 3 + 3

a₄ = 2 + 3 + 3 + 3

∴  a_n = 2 + 3 x (n – 1)

위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 a_n 은 첫째 항인 a₁ 에다가 (n – 1) 개의 공차를 더하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?

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등차수열 { a_n } 의 첫째항을 a₁, 공차를 d 라고 하면, n 번 째의 일반항 a_n 은 아래와 같이 구한다.

a_n = a₁ + (n – 1) d

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보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 합시다.

(1) 8,  3, – 2, – 7, – 12, ...

a₁ = 8,   d = – 5

∴  a_n = 8 + (n – 1) x (– 5) = 13 – 5n

∴  a₁₀ = 8 + (10 – 1) x (– 5) = – 37

(2) 17, 14, 11, 8, 5, ...

a₁ = 17,   d = – 3

∴  a_n = 17 + (n – 1) x (– 3) = 20 – 3n

∴  a₁₀ = 17 + (10 – 1) x (– 3) = – 10

그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

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공차가 3 이고 제 11 항이 28 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱ d = 3                                 ⋯ ①

↳ a₁₁ = a₁ + (11 – 1) x d = 28  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[대입법]  ① ⇒ ②  :

a₁ + (11 – 1) x 3 = 28

∴  a₁ = – 2

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제 5 항이 28 이고 제 17 항이 88 인 등차수열의 첫 째항을 구하여라.

---

(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱ a₅ = a₁ + (5 – 1) x d = 28     ⋯ ①

↳ a₁₇ = a₁ + (17 – 1) x d = 88  ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[가감법]  ② – ① :

(16 – 4) x d = 60

∴ d = 5  ⋯ ③

[대입법]  ③ ⇒ ① :

a₁ + 4 x 5 = 28

∴  a₁ = 8

---

등차수열을 이루는 세 자연수 a, b, c 가 아래의 조건을 만족할 때,

 그 세 자연수 a, b, c 를 구하여라.

↱ a + b + c = 12       ⋯ ①

↳ a² + b² + c² = 66   ⋯ ②

---

(1) 세 자연수가 등차수열을 이룬다고 했으니까,

a + c = 2b   ⋯ ③

(2) 이제, 이 식을 주어진 두 식에 대입하면,

[대입법]  ③ ⇒ ① :

b + 2b = 12

∴  b = 4

(3) 따라서, 공차를 d 를 이용해서 a 와 c 를 바꿔준 다음,

a = 4 – d

c = 4 + d

(4) 이를 ② 식에 대입하면, [대입법]

(4 – d)² + 4² + (4 + d)² = 66

– 8d + d ² + 8d + d ² = 18

d ² = 9

∴  d = ±3

∴  (a, b, c) = (1, 4, 7)  or  (7, 4, 1)

곱셈공식(3) 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형

Pascal’s Triangle

"이항 곱셈공식의 계수는 외울 필요가 없어요"

" you don’t have to memorize

the coefficients in binomial expansions "

오늘은 프랑스 철학자이자 수학자인 파스칼이 정리해 놓은 아주 유명하고 재미있는 파스칼의 삼각형을 소개합니다.

파스칼의 삼각형은 이항정리의 계수를 알아내거나 삼각수 (triangular number) 등 여러가지의 특이한 숫자들의 규칙을 찾아내는 데에 활용되고 있습니다.

중학수학에서도 두 가지의 경우를 선택하는 경우의 수를 구하거나, 세제곱 이상의 곱셈공식 전개식에서 계수를 알아내는 데에 아주 편리하고 재미있는 내용이므로 원리를 잘 이해해 두고 활용법을 기억해 두기 바랍니다.

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곱셈공식에서 배웠던 내용 중에서, 두 개의 항만으로 이루어진 이항의 거듭제곱을 복습삼아 전개해 보도록 할까요?

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

만일 4 차 이상의 이항식을 전개하면 그 계수는 어떻게 될까요?

이럴 때, 파스칼의 삼각형을 이용하면 아주 쉽게 그 계수들을 알아낼 수 있습니다.

아래 그림에서 보는 것과 같이 윗 줄의 좌우 두 숫자의 합을 적어 놓되, 숫자가 없을 때에는 0 이 있다고 가정하면 됩니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v    v    v    v    v

1    4    6    4    1

v    v     v     v     v    v

1    5   10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

파스칼의 삼각형에서 계수들이 좌우대칭의 모습을 보이고 있지요?


일반적으로 전개식을 나열하는 규칙은 다음과 같습니다.

(1) 삼각형에서 알아낸 계수를 앞에 쓰고, 

(2) 앞의 문자 a 는 차수를 하나씩 낮추고,

(3) 뒤의 문자 b 는 차수를 하나씩 올린다

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

︙

또한, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.


아래의 그림과 같이 정삼각형 도형을 만들기 위해 사용되는 물건의 총수를 나타내는 삼각수 (triangular numbers) 에 대해서 알아 보도록 할까요?

이 수들의 규칙은 뒤에서 배울 계차수열의 하나입니다.

                                                                       O
                                                 O                 O  O
                            O                O  O             O  O  O
             O          O  O           O  O  O         O  O  O  O       ...
    O    O  O     O  O  O      O  O  O  O     O  O  O  O  O

    a₁       a₂             a₃                  a₄                   a₅ 

그런데, 아래 그림의 파스칼 삼각형에서 사선의 빨간색으로 표시된 수열이 바로 삼각수 (triangular numbers) 가 되는 것을 발견할 수 있습니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v     v    v    v     v

1     4    6    4     1

v    v     v    v     v    v

1    5    10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

뿐만 아니라, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.

고등학생들도 조금 어려워하는 피보나치 (Fibonacci) 수열에 대해서 알아 보도록 할까요?

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1

                   (source : wikipedia – Pascal’s triangle)

위의 표로 나타낸 파스칼 숫자에서, 사선으로 보이는 같은 색의 셀들을 더해서 차례로 나열하면 피보나치 수열이 됩니다.

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = 1 + 1 = 2

a₄ = 2 + 1 = 3

a₅ = 1 + 3 + 1 = 5

a₆ = 3 + 4 + 1 = 8

a₇ = 1 + 6 + 5 + 1 = 13

︙

수열에서 이웃하는 항들 사이에 성립하는 일반적인 관계식을 점화식이라고 합니다. 이 관계식으로 관찰할 때, 피보나치 수열은 특이하게도, 제 3 항부터의 값이 직전에 있는 두 개의 항의 값을 합하여 결정되는 특징을 가지고 있습니다. 

점화식으로 나타낸 다음 실제로 맞는지 확인해 보도록 할까요?

------------------------

a_n = a_n-1 + a_n-2

------------------------

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2

a₄ = a₂ + a₃ = 1 + 2 = 3

a₅ = a₃ + a₄ = 2 + 3 = 5

a₆ = a₄ + a₅ = 3 + 5 = 8

a₇ = a₅ + a₆ = 5 + 8 = 13

︙

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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