행렬(4) 케일리-해밀턴 정리

케일리-해밀턴 정리

Cayley-Hamilton theorem

"행렬의 거듭제곱을 아주 쉽게 구할 수 있어요"

" the easiest way

to find powers of a matrix "

케일리-해밀턴 정리가 표준 교과의 범위를 벗어난다는 이유로, 최근 들어서는 행렬의 거듭제곱유형의 문제들은, n 차 행렬을 n = 1 부터 하나씩 계산해 본 후, 규칙성을 찾아내는 방식으로  많이 출제되고 있습니다.

그럼에도 불구하고, 아직도 많은 기출문제 유형에서 행렬의 거듭제곱 계산을 편리하게 할 수 있도록 방법으로 케일리-해밀턴 정리가 활용되고 있습니다.              

이 원리를 이용한 유형은 대부분 곱셈공식이나 인수분해가 가능한 문제들로, 혼합 연계된 형태로 자주 출제되고 있고, 앞으로 배우게 될 역행렬의 연계형 문제에서도 자주 활용되니까, 확실하게 이해하고 외워 두는 것이 유리합니다.

현재 고 1부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않습니다만, 심화유형의 수열이나 벡터에서는 행렬의 기본개념이 필요하다는 점도 알아 두기 바랍니다.

이 [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명합니다.

  

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행렬 A = [ a b ]  일 때, 아래의 식 값을 한 번 계산해 볼까요?

               [ c d ]

A² – (a + d) A + (ad – bc) E

[ a b ] * [ a b ] – (a + d) [ a b ] + (ad – bc) [ 1 0 ]

[ c d ]   [ c d ]               [ c d ]                   [ 0 1 ]

= [ a²+bc  ab+bd ] – (a + d) [ a b ]  + (ad – bc) [ 1 0 ]

   [ ca+dc   cb+d² ]              [ c d ]                    [ 0 1 ]

= [ a²+bc  ab+bd ] – [ a²+da  ab+db ] + [ ad–bc       0 ]

   [ ca+dc   cb+d² ]   [ ac+dc   ad+d² ]    [ 0       ad–bc ]

= [ a²+bc–a²–da+ad–bc      ab+bd–ab–db+0 ]

   [ ca+dc–ac–dc+0       cb+d²–ad–d²+ad–bc ]

= [ 0  0 ]

   [ 0  0 ]

 = O

위의 결과인 A² – (a + d) A + (ad – bc) E = O 을 '케일리-해밀턴 정리' 라고 하고, 행렬의 거듭제곱 계산에서 매우 편리하게 활용됩니다.

* 참고로, 우리나라에서는 (2 x 2) 의 단위행렬을 ‘E’ 라고 표현하지만, 영미권 국가에서는 ‘I₂‘ 라고 표현합니다.

예를 들어, 행렬 A = [ 1  2 ] 일 때, A⁴ 의 값을 한번 계산해 볼까요?

                                [ 3  4 ]

케일리-해밀턴의 식, A² – 5A – 2E = O 을 이용해서 아래와 같이 한 단계씩 차수를 낮추어 나가면 됩니다.

A⁴

= (A²)²

= (5A + 2E)²

= 25A² + 20A + 4E

= 25(5A + 2E) + 20A + 4E

= 145A + 54E

= 145 * [ 1  2 ] + 54 * [ 1  0 ] 

           [ 3  4 ]           [ 0  1 ]

= [ 199   290 ]

   [ 435   634 ]

비슷한 연습 문제를 하나 더 풀어 볼까요?

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A = [ 1  0 ] 라고 할 때, A⁴ – 2A³ + 3A² + A 를 A 와 E 만으로 간단하게 표현하여라.

      [ 3  2 ]

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(1) 우선, 케일리-해밀턴 정리를 이용하면, A² = 3A – 2E 이니까, 이를 이용하면 차수를 하나씩 낮추어 나갈 수 있겠지요?

A⁴ – 2A³ + 3A² + A

= (3A – 2E) ² – 2A(3A – 2E) + 3(3A – 2E) + A

= 3A² + 2A – 2E

= 3(3A – 2E) + 2A – 2E

= 11A – 8E

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이번에는, 삼차방정식 x³ = 1 의 성질과 매우 유사한, 행렬 방정식의 유형을 살펴 보도록 합니다.

여기서 잠깐, 가장 간단한 삼차방정식 x³ – 1 = 0 을 복습해 보도록 할까요?

(1) 우선, 삼차방정식의 좌변을 인수분해하는 것이 좋겠지요? 아래의 인수분해 공식에서 a 와 b 대신에 x 와 1 을 각각 대입하면,

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1)

이제, 삼차방정식의 좌변이 인수분해 되니까, 근의 공식을 이용해서 쉽게 해를 구할 수 있습니다.

x³ = 1

x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1) = 0

∴   (a)  x – 1 = 0    or    (b)  x² + x + 1 = 0

(2) 따라서, (a) x – 1 = 0 식에서 실근인 x = 1 이 구해지고, (b) x² + x + 1 = 0 에서 2 개의 허근을 합하여, 모두 세 개의 해를 구해낼 수 있습니다.

x = {–1+√(1² – 4)}/2 = (–1+√3i )/2 = ω

or

x = {–1–√(1² – 4)}/2 = (–1–√3i )/2 = ω* (ω bar)

(3) 이 때, ω 와 ω* 는 x³ – 1 = 0 이라는 삼차 방정식의 해이기도 하니까,

ω³ = (ω*)³ = 1

바로 이러한 원리로, x² + x + 1 = 0 이라는 식이 주어졌다면, x³ = 1 도 성립합니다.

마찬가지로, x² – x + 1 = 0 이라는 식이 주어졌다면, x³ = – 1 도 만족해야 합니다.

워낙 고등수학 전반에서 자주 등장하는 중요한 성질이니까, 반드시 외워두기 바랍니다.

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A 와 E 로만 이루어진 행렬식에서는, 실수에서 배운 곱셈공식과 인수분해 공식이 그대로 적용되니까, 위에서 복습했던 삼차방정식 x³ = 1 의 성질도 그대로 활용됩니다.

행렬에서는, 실수에서의 1 과 같은 곱셈의 항등원이 E 가 되니까, 위에서 복습했던 내용을 아래와 같이 행렬의 공식으로 바꿀 수 있습니다.

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(1) if A² + A + E = O,       then   A³ = E

(2) if A² – A + E = O,     then   A³ = – E

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자 그럼, 관련된 예제를 한 번 풀어 볼까요?

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A = [  1    1 ] 라 할 때,

   [ –1   0 ]           

 A¹⁰⁰⁰ + A⁹⁹⁹ + A⁹⁹⁸ + A⁹⁹⁷ 를 구하여라.

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(1) 우선, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면, A² – A + E = O 이니까,

 앞에서 공부하고 정리했던 대로 A³ = – E

(2) 대입해서 계산하면, A⁹⁹⁹ = (A³) ³³³ = – E 가 되니까, 준식에 대입하면,

A¹⁰⁰⁰ + A⁹⁹⁹ + A⁹⁹⁸ + A⁹⁹⁷

= – A – E + A² + A

(3) 그런데, A² – A + E = O 라고 했으니까,

= – A – E + (A – E) + A

= A – 2E

   따라서, 답은  [ –1    1 ]

                        [ –1   –2 ]   

위의 공식들은 앞으로 배우게 될 역행렬에서도 자주 등장하는 매우 중요한 내용이니까, 확실하게 이해해 두고, 반드시 외워 두기 바랍니다.

케일리-해밀턴 정리의 역은 심화 개념이므로, 다음에 별도로 설명합니다.

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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