절대값 일차방정식
linear absolute value equations
"절대값 방정식은 사고력을 키우는데 도움이 되요"
" absolute equations improve
critical thinking skills "
절대값이 포함된 방정식은 기본적으로, 반드시 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.
특히, 함수 그래프에서 많이 활용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.
절대값이 3 개 이상이거나, 절대값이 다중으로 들어가는 심화유형은, 반드시 함수의 그래프를 이용해서 푸는 것이 바람직 합니다. 이 유형들에 대한 설명은 차후에 심화 단계에서 다룰 예정입니다.
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지난 번에 공부한 내용 중에서, 공식으로 정리하고 외워 두기로 한 내용을 복습하도록 할까요?
[ 1 ] 절대값이 하나만 있는 경우
한 변에 절대값만 있는 식, 그리고 다른 한 변에는 숫자만 있는 기본형 절대값 일차방정식 | x | = a ( > 0) 는 간단하게 x = a 또는 – a 라고 풀면 된다고 했지요?
그러면, 이와 관련된 보기 문제를 풀어 보도록 하지요.
아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.
| x – 5 | = 3
(1) 방정식 | x – 5 | = 3 을 풀 때에도 앞에서 배웠던 것과 같이, 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로, 2 가지의 경우로 나누어서 푸는 것이 원칙이지만,
(2) 절대값 하나와 숫자만 있는 경우에는, x – 5 = k 라고 치환한다면, | k | = 3 을 푸는 것이니까, 위에서 복습한 내용대로 풀면 아주 간단하고 쉽습니다.
| x – 5 | = | k | = 3
이 때, k = 3 or – 3
즉, x – 5 = 3 or – 3
∴ x = 8 or 2
[ 2 ] 절대값이 여러 개인 경우
그러나, 아래와 같이 ① 절대값이 여러 개이거나, ② 숫자 대신에 식이 있는 경우에는, 위에서 설명한 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다.
이와 관련된 예제들을 보도록 할까요?
아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.
| x – 5 | – | x + 2 | = 3
(1) 절대값이 두 개인 식이니까, 원칙대로 세 구간으로 나누어 풀어야 하겠지요? 각각의 구간 내에서는 특정조건 아래에서 답을 구하는 것이니까, 서로 교집합 (∩) 이 되지만, 각각의 세 구간끼리는 서로 다른 경우이므로, 합집합 (∪) 이 된다는 점에 유의해야 합니다.
(2) 이해하기 쉽게 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?
i) A 일 때
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ii) B 일 때
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iii) C 일 때
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P
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Q
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R
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따라서, 답은 구하는 논리식을 집합으로 나타내면,
(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)
(3) 이제, 실제로 절대값 방정식을 풀어 볼까요?
나란히 3 단으로 나열해서 푸는 것이 좋습니다.
(A) x < –2일 때
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(B) –2≤ x < 5일 때
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(C) x ≥ 5일 때
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–x+5–(–x–2) = 3
7 = 3 ?
따라서, 모순(Ø)
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–x+5–(x+2) = 3
–2x + 3 = 3
따라서, x = 0
|
x–5–(x+2) = 3
– 7 = 3
따라서,모순(Ø)
|
(A) 의 경우는 x < – 2 의 조건하에서 (A ∩ P), 모순( Ø ) 이므로,
이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )
(B) 의 경우는 – 2 ≤ x < 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = 0 이므로,
이 구간 내에서의 답은 x = 0.
(C) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (C ∩ R), 모순( Ø ) 이므로,
이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø )
(4) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 또는 [(C)의 경우] 를 합하면,
(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q) ∪ (C ∩ R)
Ø ∪ { 0 } ∪ Ø
∴ x = 0
[ 3 ] 숫자 대신에 식이 있는 경우
이번에도 관련 예제를 풀어 볼까요?
아래의 절대값 일차방정식을 풀어라.
| x – 5 | = 3x + 1
(1) 이 문제는 절대값은 하나지만, 숫자가 아니라 식이 있는 경우이니까, 간편하게 절대값의 성질을 이용해서, x – 5 = 3x + 1 또는 x – 5 = – 3x – 1 로 풀어서는 안됩니다.
(2) 따라서, 원칙대로 구간을 나누어 풀어야 합니다. 절대값 안의 값의 부호가 바뀌는 5 를 기준으로 나누면,
(A) x < 5일 때
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(B) 5 ≤ x 일 때
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– x + 5 = 3 x + 1
4 x = 4
따라서, x = 1
|
x – 5 = 3 x + 1
2 x = – 6 ∴ x = – 3
따라서, 해가 없다 ( Ø )
|
(A) 의 경우는 x < 5 의 조건하에서 (A ∩ P), x = 1 이므로,
이 구간 내에서의 답은 x = 1.
(B) 의 경우는 x ≥ 5 의 조건하에서 (B ∩ Q), x = – 3 이므로,
이 구간 내에서의 답은 해가 없다 ( Ø ).
(3) 따라서, [(A)의 경우] 또는 [(B)의 경우] 를 합하면,
(A ∩ P) ∪ (B ∩ Q)
{ 1 } ∪ Ø
∴ x = 1
