유리수(3) 유한소수와 순환소수

소수를 분수로

converting decimals to fractions

"순환소수는 [똑같은 꼬리자르기] 기법으로

쉽게 분수로 바꿀 수 있어요"

" conversion becomes much easier by using [same tail] technique "

유한소수와 순환하는 무한소수는 기약분수인 유리수와 관련되어, 중고등수학 전반에서 응용되는 유형으로 자주 출제 됩니다.

특히, 유한소수가 되기 위한 기약분수의 조건 등은 정수와 관련된 심화유형 문제로 연계되어 자주 출제되니, 개념을 철저하게 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

또한, 순환하는 무한소수를 분수로 바꾸는 [똑같은 꼬리 자르기] 기법은, 분수식과 무리식에서도 활용되는 기본적이면서도 중요한 방법이니까, 반드시 기본개념을 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

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[ A ] 유한소수

0.273 과 같이 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자가 끝이 있는 소수를 유한소수라 합니다.

0.273 = 273 / 10³ = 273 / 1000 과 같이 유한소수는 소수점 이하에 0 이 아닌 숫자의 개수만큼, 분모에 10 의 거듭제곱을 해서, 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수입니다.

이 때, 그 분수의 분모는 10 의 거듭제곱이니까, 약분을 해서 기약분수가 되었더라도, 항상 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있습니다.

이번에는 이 개념을 역으로 적용해서 앞에서 배웠던 유한소수 판별방법을 복습해 볼까요?

13 / 20 = 13 / (2 x 2 x 5) 와 같이, 어떤 기약분수의 분모가 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 그 분수는 소수형태로 바꾸었을 때, 항상 유한소수가 됩니다.

왜냐하면, 13 / (2 x 2 x 5) 의 분모에 부족한 2 나 5 의 개수만큼을 곱해 준다면, 아래와 같이 분모를 항상 10 의 거듭제곱으로 만들어서, 소수(decimals)로 나타낼 수 있기 때문이지요.

분수(fraction)  13 / 20   = 13 / (2 x 2 x 5)

                                                 = (13 x 5 x 5 x 2) / (2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 2) 

                                                 = 650 / (10 x 10 x 10)

                                                 = 0.65    소수(decimal fraction)

또 하나, 예를 들어 볼까요?

분수(fraction)  69 / 150   = 69 / (2 x 3 x 5 x 5)

                                                   = (23 x 3) / (2 x 3 x 5 x 5) 

                                                   = 23 / (2 x 5 x 5)    기약분수(reduced fraction)

                                                   = (23 x 5 x 2 x 2) / (2 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2) 

                                                   = 460 / (10 x 10 x 10)

                                                   = 0.46    소수(decimal fraction)

위와 같이 분모에 2 나 5 가 아닌 숫자 3 이 들어 있다 하더라도, 약분한 후에 최종 정리된 기약분수의 분모가, 2 와 5 만의 소인수로 이루어져 있다면, 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

[ B ] 순환하는 무한소수

그렇다면, 만일 기약분수의 분모에 2 또는 5 이외에 다른 숫자가 있다면, 이 분수는 유한소수가 될 수 있을까요?

분모에 2 또는 5 의 배수가 아닌 다른 소수들이 있는 경우를 볼까요?

1 / 3 = 0.333⋯ = 0.3*

1 / 7 = 0.142857142857⋯ = 0.1*42857*

1 / 11 = 0.090909⋯ = 0.0*9*

1 / 13 = 0.076923076923⋯ = 0.0*76923*

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등과 같이, 모두 순환하는 무한소수가 됩니다. 진위 문제에서 자주 등장하지만, 순환하는 무한소수는 유리수이고, π = 3.14159⋯ 와 같이 순환하지 않는 무한소수는 무리수라는 것을 반드시 기억해 두기 바랍니다.

 

순환하는 무한소수(순환소수)는 유리수이기 때문에, 언제나 기약분수로 나타낼 수 있습니다. 그러면 순환소수를 분수로 나타내는 방법에 대해서 알아 보도록 하지요.

아주 쉽고도 유명한, [똑같은 꼬리 자르기] 기법입니다. 가장 기본적이면서 중요한 방법이니까, 반드시 기억해 두고 활용하기 바랍니다.

예를 들어, 0.424242⋯ = 0.4*2* 를 분수로 나타내 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

x = 0.424242⋯          ⋯ ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 곱해줍니다.

100 x = 42.424242⋯       ⋯ ②

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

② ‐ ① :  [ 가감법 ]

100 x = 42

∴  x = 42 / 100 = 21 / 50

이번에는 0.821212⋯ 을 기약분수로 바꿔 볼까요?

(1) 주어진 순환소수를 x 라고 놓습니다.

x = 0.8212121⋯       ⋯ ①

(2) 꼬리가 같아지도록, 순환마디의 개수만큼 10 의 거듭제곱을 각각 곱해줍니다.

10 x = 8.212121⋯              ⋯ ②

1000 x = 821.212121⋯      ⋯ ③

(3) [같은 꼬리를 자르는 기법] 으로, 큰 값에서 작은 값을 빼주면,

③ ‐ ② :  [ 가감법 ]

990 x = 821 – 8 = 813

∴  x = 813 / 990 = 271 / 330

[ C ] 순환하는 무한소수를 분수로 고치는 공식

앞에서 배운 내용을, 문자로 일반화시켜 공식으로 정리하도록 할까요?

다만, 아래의 공식은 시험 직전에, 문제를 빨리 풀기 위해 참고하는 정도로만 활용하세요.

평소에는 가급적 [똑같은 꼬리 자르기] 방법을 이용해서 문제를 풀어야 응용력이 좋아집니다.

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a.bx*y*= (abxy - ab) / 990

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(1) 분모에는, 소수점 이하에서, 순환마디 x*y*의 개수만큼 9를 쓰고, 나머지 순환마디가 아닌 b의 개수만큼 9 다음에 이어서 0 을 적는다.

(2) 분자에는, 소수점을 무시하고 전체 숫자 'abxy' 에서 순환마디가 아닌 숫자 'ab' 를 뺀 수를 적어 넣는다.

(3) 이제, 만들어진 분수를 약분하여 기약분수로 만든다.

공식을 적용하는 예를 보도록 할까요?

(1) 순환소수 3.8212121⋯ = 3.82*1* 를 공식에 적용하면,

(3821 - 38) / 990

= 3783 / 990

= 1261 / 330

(2) 또는 간편하게 3.8212121⋯ = 3 + 0.8212121 ... 로 바꾸면,

3 + 0.82*1* 

= 3 + (821 - 8) / 990

= 3 + 271 / 330

= 1261 / 330

유리수(1) 분수와 유리수

분수와 유리수

fractions & rational numbers

"분수와 유리수는 같은 뜻인가요?"

" Is every rational number a fraction? "

분수(分數, fraction)는 그 표현의 모호성 때문에 정수, 유리수 또는 무리수와 같은 엄밀한 수학적 용어로 사용하기에는 조금 무리가 있습니다.

뿐만 아니라, 한국어권과 영미권 사이에서 분수(分數, fraction)의 뜻과 정의가 서로 다르게 사용되고 있기 때문에 그 차이를 정확하게 이해해 둘 필요가 있습니다.

분수(分數)와 소수(小數)는 유리수인지 혹은 아닌지를 혼동하는 학생들이 과거에 비해 의외로 많습니다.

이 내용과 관련된 진위의 판단을 어려워하는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.

표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.

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분수(分數)는 '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로도 사용이 될 수 있고, 영미권에서는 분수(fraction)란 0을 포함하되 두 자연수의 비(율)을 분자와 분모의 형식으로 표현한 수라는 좁은 뜻으로도 사용되기도 하므로 경우를 나누어 자세하게 알아둘 필요가 있습니다.

[ 1 ] 분수(分數)를 분자와 분모로 나타내는 '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로 사용할 때,

무리수 단원에서는 '√3 / √2 의 분모를 유리화한다' 라는 표현을 자연스럽게 사용하고 있고, 무리수에서도 √2 / 3 또는 5 / √3 과 같이 분수형태로 사용하기도 합니다.

혹은 복소수(허수)와 같은 경우에도 ' 1 / (1 – i ) 의 분모를 실수화한다' 라고 표현하기도 하지요.

즉, '분수형태'라는 넓은 의미의 뜻으로 사용될 때는 유리수만이 아니라 무리수 혹은 허수를 포함하는 복소수를 지칭할 수도 있다는 점입니다.

[ 2 ] 두 번째는 영어권에서 사용하는 분수(fraction)의 뜻과 정의는 우리나라의 표준 교과과정에서 사용하는 분수(分數)의 정의와 다르다는 점입니다. 영어로 어떻게 설명하는지 한 번 보도록 할까요?

Fractions and rational numbers are not the same. Fractions are the ratio of two whole numbers whereas rational numbers are the ratio of two integers with a non-zero denominator. For example, 3/7 is a fraction whereas –2/11 is a rational number.

영미권에서 whole numbers 는 자연수에다 0 을 더한 수의 집합입니다. 따라서 영미권에서 말하는 분수(fraction)는 음의 정수를 제외한 분수표현, 즉, 결과적으로는 음의 분수를 제외시키고 있다는 점에 유의해야 합니다.

* 참고로, 영미권에서 말하는 분수(fraction)는 실생활과 밀착된 언어로 파생되었기 때문에, 4조각으로 등분한 피자 중에서 한 조각을 먹었다 또는 세 조각이 남았다와 같이 표현합니다.

* 실제 어떤 것을 (a) 몇 개의 조각들로 균등하게 나누었는지 그리고 (b) 그 중에 몇 개의 조각들을 가리키는 것인지의 양(+)의 표현을 쓰는 것이 일반적입니다.

3/4 = three (parts of) fourth (quarter, equal four parts make up a whole)

* 복잡한 분수의 경우는 우리나라 방식의 분수(分數) 표현인 분자와 분모로 나타내기도 하지요.

3/134 = three over one hundred thirty four(th)

[ 3 ] 위 [ 2 ]번에서 븕은색의 영어로 표현되어 있는 유리수(rational numbers)의 정의가 바로 우리나라의 중등교육 표준교과과정에서 정의하고 있는 분수(分數)입니다.

rational numbers are the ratio of two integers with a non-zero denominator.

유리수란 '두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수'라고 정의합니다. 물론 분모가 0인 경우는 제외되구요.

우리나라의 중등교육 표준교과과정에서 수의 체계를 집합의 개념으로 설명할 때, 일반적으로 다음과 같이 분류하기도 합니다만,

{유리수} = {자연수} + {0} + {음의 정수} + {정수가 아닌 분수(유리수)}

자연수나 음의 정수를 분모를 1 로 하는 분수라고 일반화 한다면 '(정수의)분수 = 유리수' 라고 말해도 틀린 표현이 아닙니다. 

따라서, 정수단원의 공부를 마친 우리나라의 중학생들은 '(정수의)분수 = 유리수' 라고 말해도 될 뿐만 아니라, 무리수는 '(정수의)기약분수로 나타낼 수 없는 수' 라고 말할 수 있습니다.

위의 소제목에서 묻고 있는 '분수는 유리수인지' 여부를 정확하게 알아 보기 위해서는 먼저 '집합'을 알아 두어야 합니다. 우선 간단하게 기초적인 '집합'의 개념을 공부해 보도록 할까요?

가장 일반적이고 흔한 예인 ‘사람은 동물이다’ 라는 문장을 가지고 [명제] 와 [진리집합] 에 관하여 알아 보도록 합시다.

위의 예와 같이 참과 거짓을 객관적으로 판별할 수 있는 문장을 [명제] 라고 하고, 소문자를 써서 p → q 와 같이 화살표 기호로 표현합니다.

이 때, 위에서 예를 든 문장으로 본다면, p 에 해당하는 ‘사람은 (또는 사람이면)’ 부분을 [가정] 이라 하고, q 에 해당하는 ‘동물이다’ 부분을 [결론] 이라고 합니다.

또, [가정] 또는 [결론] 부분의 모든 원소의 집합을 [진리집합] 이라고 부르며, 각각 P, Q 의 대문자로 표현합니다.

참과 거짓을 판별한다면, 예로 든 명제, ‘사람은 동물이다’ 는 참이지요? 이 원리를 진리집합인 P = {x | x 는 사람} 과 Q = {y | y 는 동물} 간의 집합의 관계로 살펴 볼까요?

위의 벤다이어 그램에서 보는 것과 같이, 보라색 원의 모양인 집합 P = {x | x 는 사람} 가 분홍색과 보라색 전체인 타원 모양의 집합 Q = {y | y 는 동물} 의 내부에 포함되어 있는 진부분 집합이지요?

즉, P⊂Q 이니까, 집합P 의 원소가 되는 어떤 사람이라도, 집합 Q 의 원소인 동물이 된다는 것은 참이 됩니다.

그렇다면, 원래 명제의 가정과 결론을 바꾸어 놓은 [역] q → p 는 참이 될까요?

위의 벤다이어 그램에서 보면, P⊂Q 이고, 차집합 Q – P 부분인 분홍색 부분에 있는 동물은 [인간이 아닌 동물] 이니까, 참이 될 수 없다는 반례가 되는 것이지요. 따라서, [역] q → p 는 거짓이 됩니다.

이렇게, 벤다이어 그램에서 진리집합의 포함관계를 살펴보면, 판단하기가 어려운 명제의 참과 거짓을 쉽게 알아낼 수 있습니다.

이제 예를 들어, 영미권의 공부를 잘하는 학생들에게 “유리수는 분수와 같은 뜻이다” 라는 명제는 참인지 거짓인지를 물어 본다면 어떻게 대답할까요?

유리수(rational numbers)의 진리집합을 P = { ±1/2, ±2/7, ±5/11, ⋯ } 그리고 분수(fractions)의 진리집합을 Q = { 1/2,  2/7,  5/11, ⋯ } 이라 놓고,

집합의 포함관계를 보면, P⊃Q 이니까, 위의 명제는 거짓이라는 것을 알 수가 있습니다. 이 때, 차집합 P – Q 의 원소인 '  – 2/7 ' 등이 그 반례가 되는 것이지요.

이와 같이, 집합의 포함관계를 나타내는 벤다이어 그램을 활용해서, 진위문제 유형들을 아주 쉽고 편리하게 판별해낼 수가 있습니다.