부분집합의 개수
number of subsets
"그냥 부분집합이라고 하면 자기자신도 포함이 되요"
" A proper subset of a set B is a subset of B that is not equal to B "
진부분집합은 부분집합들 중에서 자기자신을 제외한 부분집합을 말합니다. 따라서 일반적으로 부분집합이라고 말하면 자기자신을 포함하게 되지요.
부분집합의 개수를 구하는 유형은, 각각의 원소들이 포함되느냐 배제되느냐 하는 논리를 기초로 하기 때문에, 고등수학 과정에서 [경우의 수] 등의 응용문제로 다양하게 출제되고 있습니다.
여기에서는 기본원리 위주로 핵심개념만 설명합니다. 심화과정이 아니라면, 중학생은 생략해도 됩니다.
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예를 들어, 집합 A = {4, 5} 의 부분집합은 원소가 1개인
{4}, {5} 그리고 자기자신 {4, 5} 와 원소가 하나도 없는 공집합 Ø 의 4개가 있습니다. 공집합 Ø 는 {
}로도 표시합니다.
위 예의 집합 A 에서 자기자신 {4, 5}를 제외한 공집합 Ø 과 {4}, {5} 를 집합 A 의 진부분집합이라고 따로 명시합니다.
그러면, 집합 A 의 부분집합의 개수는 어떻게 계산되는 것일까요?
4 ∉
|
4 ∈
|
|
5 ∉
|
Ø
|
{4}
|
5 ∈
|
{5}
|
{4, 5}
|
즉, 특정원소 하나가 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 에 따르는 경우의 수를 구하는 것과 같지요.
따라서, 만일 원소의 개수가 4개라면, 각각의 원소마다 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나]의 2가지 경우의 수를 가지므로, 2 Χ 2 Χ 2 Χ 2 =
16개가 됩니다.
위에서 설명한 원리를 가지고, 문자로
일반화시킨 공식을 만들어 볼까요?
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원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수는
[포함 또는 배제]라는 2가지 경우의 수로 n 번 곱해지는 것이니까,
2n 개
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이제 약간 응용된 예를 한번 볼까요?
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집합 X 가 {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이고
{2, 3, 4, 5} ∩ X = {3, 4}를 만족할 때
서로 다른 집합 X 의 개수를 구하여라.
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(1) {3, 4, 5, 6, 7}의 부분집합이면서 원소 3, 4는 포함하고
원소
5 는 포함하지 않는다는 얘기구나…
(2) 그러면 [포함(∈)되거나 또는 배제(∉)되거나] 의
경우의 수에서
원소
3, 4, 5는 한가지 경우만 가능하고,
원소
6, 7은 둘 다 가능하다는 얘기네…
(3) 따라서, 부분집합 X 의 개수는 2(5 - 3) = 22 = 4 개
다음은 조금 어렵지만, 상위의 심화수학으로
갈수록 복층식 개념구조를 익혀 둘 필요가 있다는 점에서, 멱집합(power set)을 알아 보도록 하지요.
예를 들어, 집합 A = {4, 5} 에 대하여, 집합 A 의 멱집합은 A 의 부분집합들을 원소로 갖는 집합으로, P(A) 또는 2A 으로 표시합니다.
즉, P(A) = {Ø, {4}, {5}, {4, 5}} 또는 {{ }, {4}, {5}, {4, 5}} 라고 나타낼 수 있지요.
따라서, 집합 A 의 멱집합의 부분집합의 개수는 24 = 16 개가 됩니다.
일반화시켜서, 원소가 n 개인 집합의 멱집합의 부분집합의 개수를 알아 볼까요?
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(1) 원소가 n 개인 집합 { b1, b2, b3, … ,bn } 의 부분집합의 개수는 2n 개.
(2) 즉, 멱집합의 원소의 개수가 2n 이니까, 멱집합의 부분집합의 개수는
2^(2n) 개가 됩니다.
(3) 이해가 조금 힘들면, 2n = K 라고 치환하면 이해하기가 쉬워집니다.
치환을 능숙하게 이용하면, 수학실력도 크게 늘고, 계산능력도 아주 좋아지지요.
(4) 이제, 멱집합의 원소의 개수 = 2n = K 라 놓으면, 멱집합의 부분집합의 개수는
2k 즉, 2^(2n) 개가 되지요.
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이제, 확인문제를 하나 풀어 볼까요?
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집합 A = {4, 5} 의 멱집합의 부분집합을
순서대로 모두 나열하여라.
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