이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

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 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

이차방정식(3) 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계

The relationship between roots & coefficients

"해를 구하지 않고도 근들의 성질을 알 수 있어요"

" to analyze the nature of roots

without solving the equation "

이차 방정식의 [근과 계수의 관계] 는 해를 구하지 않고도 근들의 합과 곱 그리고 차이를 알아내는 데 활용되는 중요한 도구이며, 방정식 단원에서는 대칭식과 관련된 응용된 계산 유형들을 해결하는 데 활용되기도 합니다.

대부분의 참고서들은, 근의 공식에서 유도되는 두 근의 합과 곱으로 원리를 설명하고 있습니다만,

삼차방정식 이상에서 일반화된 다항식의 근과 계수의 관계를 이해, 활용하기 위해서는, 두 근의 차이를 구하는 공식 외에는 항등식의 원리로 유도되는 방식으로 이해해 두는 것이 더 좋습니다.

이 뿐만 아니라, 이차함수와 그래프 단원에서 포물선의 축과 y 절편을 해석하고 응용하는 데 많이 활용되므로, 그래프를 포함하는 정확하고도 폭넓은 이해가 반드시 필요한 개념입니다.

중3과 고1에 배우는 내용 중에서 방정식과 그래프를 종합적으로 연계시키는 매우 중요한 핵심 개념의 하나이니까, 기초적인 개념부터 철저하게 공부해 두기 바랍니다.

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[ A ] 항등식과 근과 계수

이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해가 x = α 또는 β 라고 한다면, 앞의 [인수정리] 에서 배운 것과 같이,

(1) 좌변의 이차식은 (x – α) 와 (x – β) 라는 인수를 가질 테니까, a(x – α)(x – β) = 0 라고 해도 같은 방정식이라 할 수 있겠지요?

(2) 따라서, 항등식의 원리에 따라,

          ax² + bx + c

        = a(x – α)(x – β)

        = ax² – a(α + β)x + aαβ

(3) 일차항의 계수와 상수항이 서로 같아야 하므로,

b = – a(α + β) 이고, c = aαβ

(4) 즉, α + β =  – b/a 이고, α *β = c/a 가 됩니다.

위의 결과를 이차방정식에서의 [근과 계수의 관계] 라고 합니다.

이 [항등식의 계수비교] 방법은, 3차 이상의 방정식에서도 그대로 적용되는 일반적인 원리이니까, 위에서 항등식을 이용한 유도과정을 잘 기억해 두기 바랍니다.

추가로, 두 근의 차인 | α – β | 는 어떻게 유도할까요?

앞에서 배운 [근의 공식]을 이용하면,

(1) 두 근  x = {– b – √(b² – 4ac)} / 2a  또는  x = {– b + √(b² – 4ac)} / 2a 가  x = α  또는 x = β 라는 두 근과 동일한 것이 되는 것이니까,

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

– b – √(b² – 4ac) < – b + √(b² – 4ac)

(2) | α – β | = | {– b + √(b² – 4ac)} / 2a – {– b – √(b² – 4ac)} / 2a |

= | 2*√(b² – 4ac) / 2a |

= | √(b² – 4ac) / a |

(3) 그런데, √(b² – 4ac) 는 항상 양수(+) 이므로,

| α – β | = √(b² – 4ac) / | a |

이 공식은 조금 더 어려운 문제 유형 또는 [이차함수와 그래프] 단원에서 포물선이 [x 축을 잘라내는 길이] 라는 응용 문제에서 자주 등장하니까, 아예 외워 두는 것도 좋습니다.

오늘 배운 것들은 중요한 공식이니까, 한 번 정리해 둘까요?

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해가  x = α 또는 β 라고 할 때,

     (1) α + β = – b/a 

     (2) αβ = c/a 

     (3) | α – β | = = √(b² – 4ac) / | a |

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또, 역의 원리를 이용해서, 두 근 x = α 또는 β 를 알고 있을 때에는

(1) [인수정리]에 의하여, (x – α)와 (x – β)라는 인수를 가질 테니까,

(2) 최고차항이 a 인 이차 방정식은 a(x – α)(x – β) = 0

      즉, a{x² – (α + β)x + αβ} = 0 가 되겠지요?

이 내용도 하나의 공식으로 정리해 둘까요?

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 최고차 항의 계수가 a 이고, x = α 또는 β 를 두 근으로 하는

 이차방정식은   a{x² – (α + β)x + αβ} = 0

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그러면, 위의 공식들을 이용하는 보기 문제를 풀어 볼까요?

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 이차 방정식 x² – 5x + 3 = 0 의 두 근을

   x = α 또는 β 라고 할 때,

   α³ + β³ 의 값을 구하여라.

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(1) [근과 계수의 관계] 공식을 이용해서, 두 근의 합과 곱을 금방 알 수 있지요?

α + β = 5,   αβ = 3

(2) 앞에서 배운 [대칭식]의 원리를 기억하고 있나요?

    합과 곱을 이용한 곱셈공식의 변형방법을 이용하면,

α³ + β³

= (α + β)³ – 3αβ(α + β)

= 5³ – 3 * 3 * 5

= 5 * (25 – 9)

= 5 * 16 = 80

이번에는, 두 근을 알고 있을 때, 역으로 이차 방정식을 구하는 유형의 문제를 풀어 볼까요?

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 이차 방정식 x² – 4x + 2 = 0 의 두 근을

   x = α 또는 β 라고 할 때,

   α + β 와 αβ 를 두 근으로 하고

 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

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(1) [근과 계수의 관계]를 이용하면,

     α + β = 4, αβ = 2 이므로,

(2) 새로운 이차방정식의 두 근의 합 = 4 + 2 = 6 이고,

      두 근의 곱 = 4 * 2 = 8 이니까,

(3) 2(x² – 6x + 8) = 0

따라서, 답은 2x² – 12x + 16 = 0