이차방정식(3) 근과 계수의 관계

근과 계수의 관계

The relationship between roots & coefficients

"해를 구하지 않고도 근들의 성질을 알 수 있어요"

" to analyze the nature of roots

without solving the equation "

이차 방정식의 [근과 계수의 관계] 는 해를 구하지 않고도 근들의 합과 곱 그리고 차이를 알아내는 데 활용되는 중요한 도구이며, 방정식 단원에서는 대칭식과 관련된 응용된 계산 유형들을 해결하는 데 활용되기도 합니다.

대부분의 참고서들은, 근의 공식에서 유도되는 두 근의 합과 곱으로 원리를 설명하고 있습니다만,

삼차방정식 이상에서 일반화된 다항식의 근과 계수의 관계를 이해, 활용하기 위해서는, 두 근의 차이를 구하는 공식 외에는 항등식의 원리로 유도되는 방식으로 이해해 두는 것이 더 좋습니다.

이 뿐만 아니라, 이차함수와 그래프 단원에서 포물선의 축과 y 절편을 해석하고 응용하는 데 많이 활용되므로, 그래프를 포함하는 정확하고도 폭넓은 이해가 반드시 필요한 개념입니다.

중3과 고1에 배우는 내용 중에서 방정식과 그래프를 종합적으로 연계시키는 매우 중요한 핵심 개념의 하나이니까, 기초적인 개념부터 철저하게 공부해 두기 바랍니다.

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[ A ] 항등식과 근과 계수

이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해가 x = α 또는 β 라고 한다면, 앞의 [인수정리] 에서 배운 것과 같이,

(1) 좌변의 이차식은 (x – α) 와 (x – β) 라는 인수를 가질 테니까, a(x – α)(x – β) = 0 라고 해도 같은 방정식이라 할 수 있겠지요?

(2) 따라서, 항등식의 원리에 따라,

          ax² + bx + c

        = a(x – α)(x – β)

        = ax² – a(α + β)x + aαβ

(3) 일차항의 계수와 상수항이 서로 같아야 하므로,

b = – a(α + β) 이고, c = aαβ

(4) 즉, α + β =  – b/a 이고, α *β = c/a 가 됩니다.

위의 결과를 이차방정식에서의 [근과 계수의 관계] 라고 합니다.

이 [항등식의 계수비교] 방법은, 3차 이상의 방정식에서도 그대로 적용되는 일반적인 원리이니까, 위에서 항등식을 이용한 유도과정을 잘 기억해 두기 바랍니다.

추가로, 두 근의 차인 | α – β | 는 어떻게 유도할까요?

앞에서 배운 [근의 공식]을 이용하면,

(1) 두 근  x = {– b – √(b² – 4ac)} / 2a  또는  x = {– b + √(b² – 4ac)} / 2a 가  x = α  또는 x = β 라는 두 근과 동일한 것이 되는 것이니까,

x = { – b ± √(b² – 4ac)} / 2a

– b – √(b² – 4ac) < – b + √(b² – 4ac)

(2) | α – β | = | {– b + √(b² – 4ac)} / 2a – {– b – √(b² – 4ac)} / 2a |

= | 2*√(b² – 4ac) / 2a |

= | √(b² – 4ac) / a |

(3) 그런데, √(b² – 4ac) 는 항상 양수(+) 이므로,

| α – β | = √(b² – 4ac) / | a |

이 공식은 조금 더 어려운 문제 유형 또는 [이차함수와 그래프] 단원에서 포물선이 [x 축을 잘라내는 길이] 라는 응용 문제에서 자주 등장하니까, 아예 외워 두는 것도 좋습니다.

오늘 배운 것들은 중요한 공식이니까, 한 번 정리해 둘까요?

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 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해가  x = α 또는 β 라고 할 때,

     (1) α + β = – b/a 

     (2) αβ = c/a 

     (3) | α – β | = = √(b² – 4ac) / | a |

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또, 역의 원리를 이용해서, 두 근 x = α 또는 β 를 알고 있을 때에는

(1) [인수정리]에 의하여, (x – α)와 (x – β)라는 인수를 가질 테니까,

(2) 최고차항이 a 인 이차 방정식은 a(x – α)(x – β) = 0

      즉, a{x² – (α + β)x + αβ} = 0 가 되겠지요?

이 내용도 하나의 공식으로 정리해 둘까요?

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 최고차 항의 계수가 a 이고, x = α 또는 β 를 두 근으로 하는

 이차방정식은   a{x² – (α + β)x + αβ} = 0

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그러면, 위의 공식들을 이용하는 보기 문제를 풀어 볼까요?

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 이차 방정식 x² – 5x + 3 = 0 의 두 근을

   x = α 또는 β 라고 할 때,

   α³ + β³ 의 값을 구하여라.

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(1) [근과 계수의 관계] 공식을 이용해서, 두 근의 합과 곱을 금방 알 수 있지요?

α + β = 5,   αβ = 3

(2) 앞에서 배운 [대칭식]의 원리를 기억하고 있나요?

    합과 곱을 이용한 곱셈공식의 변형방법을 이용하면,

α³ + β³

= (α + β)³ – 3αβ(α + β)

= 5³ – 3 * 3 * 5

= 5 * (25 – 9)

= 5 * 16 = 80

이번에는, 두 근을 알고 있을 때, 역으로 이차 방정식을 구하는 유형의 문제를 풀어 볼까요?

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 이차 방정식 x² – 4x + 2 = 0 의 두 근을

   x = α 또는 β 라고 할 때,

   α + β 와 αβ 를 두 근으로 하고

 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

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(1) [근과 계수의 관계]를 이용하면,

     α + β = 4, αβ = 2 이므로,

(2) 새로운 이차방정식의 두 근의 합 = 4 + 2 = 6 이고,

      두 근의 곱 = 4 * 2 = 8 이니까,

(3) 2(x² – 6x + 8) = 0

따라서, 답은 2x² – 12x + 16 = 0