제곱근(9) 이중근호의 변형

이중근호의 변형

denesting nested radicals (2)

"이중근호를 풀어 간단하게 정리하면 계산하기도 쉽고 보기도 좋아요"

" denested simple radicals’re looking good & easy to calculate "

이중근호는 표준교과과정의 범위는 아니지만, 무리수를 계수로 갖는 이차방정식의 해를 구하거나 준 특수각이라 할 수 있는 sin15° 등의 삼각비를 구하는 때에 나타납니다.

가능한 경우에는 이중근호를 간단하게 정리하는 것이 일반적인 관행이므로 교과 외의 참고 학습 정도로 익혀두면 좋을 듯 합니다.

앞의 제곱근의 성질에서 배웠던 √(A²) = |A|를 이용하는 것이므로 크게 어려운 내용은 아닙니다. 

참고로, 심화수준에서는 이차항이 없는 삼차방정식의 일반적인 근의 공식으로 구한 해를 간단히 하거나, 고차 유리함수의 적분식을 간단히 정리할 때 활용되기도 합니다.

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이중근호 √(7 + 4√3) 의 경우를 자세히 살펴보도록 할까요?

안쪽에 있는 근호 앞에 2 만 남기고 남는 수를 근호 안으로 넣어 주면, 완전제곱식의 ‘2 * A * B’ 항이 숨어 있다는 것을 알 수가 있습니다. 즉, 강제로 숫자를 움직여서 근호 앞의 숫자가 항상 2 가 되도록 변형함으로써 제곱식 또는 제곱수를 만드는 기법이지요.
 
√(7 + 4√3)
 
= √(7 + 2 * 2√(3) 

= √{7 + 2√(2² * 3)}
 
= √{7 + 2√(4 * 3)}
 
= √{(4 + 3) + 2√(4 * 3)}
 

2 이외에 남는 수를 근호 안으로 넣어 주니까, 7 = 4 + 3 = (√4)² + (√3)²이고 2² * 3 = 4 * 3인 것이 보이지요?
 
따라서,

= √[{(√4)² + (√3)²} + 2√(4 * 3)]
 
 = √[{(√4)² + (√3)²} + 2 * √4 * √3]
 
 = √{(√4)² + 2 * √4 * √3 + (√3)²}
 
 = √{(√4 + √3)²}
 
 = | √4 + √3  | 
 
 = | 2 + √3  | 
 
 =  2+√3 
 
 
 
 
이번에는 조금 더 어려운 문제인 √(2 - √3) = ? 를 풀어 보도록 할까요?
 
이 때에는 분모를 2로 하는 분수꼴의 형태로 만들어서, 강제로 근호 앞의 숫자가 2가 되도록 변형하면 됩니다.
 
√(2 - √3)
 
= √{(2 * 2 - 2 * √3) / 2 }
 
= √{(4 - 2 * √3) / 2 }
 

여기서, 분자부분을 자세히 보면 4 = 3 + 1 = (√3)² + (√1)²이고, 3 = 3 ⅹ 1이라고 볼 수 있으니까, 완전제곱꼴의 형태로 변형이 가능하겠지요?
 
√{(4 - 2 * √3) / 2 }
 
= √[{(3 + 1) - 2 * √(3 * 1)} / 2 ]
 
= √[{(√3)² + (√1)² - 2 * √3 * √1} / 2 ]
 
= √[{(√3)² - 2 * √3 * √1 + (√1)² } / 2 ]

= √{(√3 - √1)² / 2 }

= √{(√3 - √1)² / (√2)² }

= √{(√3 - √1) / √2 }²
 
= | (√3 - 1) / √2 |

 
이제, 양수(+)이니까 그대로 절대값을 풀고 나서 분모를 유리화 해주면 되겠지요?
 
= | (√3 - 1) / √2 |

= (√3 - 1) / √2

 
= {(√3 – 1) * √2 } / (√2 * √2)
 
= (√6 - √2) / 2
 
 
 
 
그러면 이런 까다로운 형태의 이중근호는 어떻게 변형해야 할까요?
 
√{7 - 3√(5)}  = ?
 

이 때에는 2가 아닌 숫자는 근호 안으로 넣어준 다음, 다시 분모를 2로 하는 분수꼴의 형태로 만들어서, 강제로 근호 앞의 숫자가 2가 되도록 변형하면 됩니다.
 
√{7 - 3√(5)}
 
= √{7 - √(3² * 5)}
 
= √[{2 * 7 - 2 * √(3² * 5)} / 2 ]
 
= √[{14 - 2 * √(45)} / 2 ]
 

여기서 분자부분을 보면, 14 = 9 + 5 = 3² + (√5)²이고 45 = 9 * 5 인 것이 보이지요?
 
따라서,

= √[{(9 + 5) - 2 * √(9 * 5)} / 2 ]
 
= √[{(√9)² +(√5)² - 2 * √9 * √5} / 2 ]
 
= √[{3² - 2 * 3 * √5 + (√5)² } / 2 ]
 
= √{(3 - √5)² / 2 }

= √{(3 - √5)² / (√2)² } 

= √{(3 - √5) / √2}²
 
= | (3 - √5) / √2 | 

 
이제, 양수(+)이니까 그대로 절대값을 풀고 나서, 분모를 유리화 해주면 되겠지요?
 
= {(3 - √5) * √2 } / (√2 * √2)
 
= (3√2 - √10) / 2