함수그래프의 대칭이동(1)
shifting function graphs(1)
"그래프를 움직여 가면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"
" Try to move the graphs to find out
the principle of parallel movement "
함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.
중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.
방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.
이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고, 이해하기 쉽도록, 간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아볼까요?
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앞에서, y
= | x – 2 | 의 그래프를 그려 봤지요? 다시 설명하면,
(1)
붉은색 영역(x < 2) 에는 y = – x + 2 의 그래프를 그리고,
(2)
푸른색 영역(x ≥ 2) 에는 y = x – 2 의 그래프를 그린 다음,
(3) 위 둘을 합집합의 개념으로 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.
이번에는 y
– 3 = | x |
다시 정리해서, y = | x | + 3의
그래프를 그려 볼까요?
(1)
붉은색 영역(x < 0) 에는 y = – x + 3 의
그래프를 그리고,
(2)
푸른색 영역(x ≥ 0) 에는 y = x + 3 의 그래프를 그린 다음,
(3)
위 둘을 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진
그래프가 되지요.
이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2
| 와 y = |
x | + 3, 그리고
y = | x |의
그래프를 한
좌표평면에 함께
나타내 볼까요?
똑같이 합동인 그래프들이
상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리해 보면,
(1)
y = | x | 의
그래프를 기준으로 볼 때, x
대신에 x – 2 를 대입한
빨간색 y
= | x – 2 | 의 그래프는 오른쪽으로 2
만큼 평행이동
(2)
y = | x
| 를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 3 을 대입한 y – 3 = | x
|
즉,
파란색 y = |
x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3
만큼 평행이동
(3)
이번에는, y = | x – 2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x
+ 2 를 대입한
y = | x + 2 – 2
| = | x | 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동
(4)
또, y = |
x | + 3 을 기준으로 본다면, y 대신에 y + 3 을 대입한 y + 3
= | x | + 3
즉, y = | x | 의 그래프는 아래쪽으로 3 만큼 평행이동
마치 청개구리
같이 반대로 움직이지요?
나중에, [함수와 그래프의 변환]이라는 과목에서 설명하겠지만, 점과 그래프 그리고 축의 상대적인 이동이라는 심화개념까지 그래프의 이동을 종합적이고 체계적으로 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서
활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.
위에서 배운 평행이동의 원리를
식으로 정리해 볼까요?
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y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,
(1) x 대신에 x – α 를 대입한 y = f (x –
α)의 그래프는
y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼
평행이동
(2) y 대신에 y – β 를
대입한 y –
β = f (x)
즉, y =
f (x)
+ β
의 그래프는
y = f (x)의 그래프를 위쪽으로 β 만큼
평행이동
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이 청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대축소 변환에서도
그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.
이번에는 꺼꾸로, 그래프를 보고 식을 찾아내 볼까요?
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밑의 그림에서 그래프의 함수식이 y = | x
+ a | + b 라 할 때,
상수 a,
b 의 값을 구하여라.
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