제곱근(10) 제곱근값 구하기

제곱근값 구하기

calculate square roots

"부등식을 이용한 제곱근 근사값 계산은

응용력을 키우는 데 아주 좋아요"

" ‘guess & check’ method of finding square root

is very helpful to foster flexible thinking "

이번에는, 계산기의 도움 없이 수작업으로 제곱근의 값을 계산하는 방법을 배워 보도록 합니다.

물론 대부분의 수학책은 제곱근표를 후미에 포함시키고 있을 뿐만 아니라, 요즘은 누구나 전자기기의 계산기 기능을 사용하기는 합니다.

그러나, 고등수학 과정의 시험 등에서는 계산기의 도움이 없이도 대략적인 제곱근의 근사값 정도는 알아내야 하는 경우가 많습니다.

특히, 부등식을 이용한 제곱근의 근사값 계산은 상위수준의 수학을 공부하는 데 많은 응용력을 키워줄 것입니다.

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먼저, 가장 가까운 제곱수를 추정해서 √5 의 근사값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

(1) (완전) 제곱수가 √5 의 제곱인 5 에 가까운 자연수를 생각해 냅니다.

2² = 4 < √5 * √5 = 5 < 3² = 9

∴   √5 = 2.xxx

(2) 2² = 4 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.5 보다는 작은 2.3 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워 지도록 소수 첫째 자리를 조정해 줍니다.

(2.3)² = 5.29 > 5

(2.2)² = 4.84 < 5

2.2 < √5 < 2.3

∴   √5 = 2.2xxx

(3) 이번에는 (2.2)² = 4.84 가 5 에 더 가까웠으니까, 2.25 보다는 조금 작은 2.24 정도의 값으로 일단 정해서 제곱을 해 본 다음에, 5 에 가장 가까워지도록 소수 둘째 자리를 조정해 줍니다.

(2.24)² = 5.0176 > 5

(2.23)² = 4.9729 < 5

2.23 < √5 < 2.24

∴   √5 = 2.23xxx

(4) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 의 값을 보다 정확하게 계산해 낼 수 있습니다. 실제로 응용문제를 해결하는 경우에는 소수점 이하 둘째 자리까지만 근사값으로 구해 내더라도 충분합니다.

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이번에는, 손으로 마치 나눗셈을 하듯이 제곱근의 값을 구하는 방법을 알아 보도록 할까요?

앞에서 부등식을 이용한 근사값으로 구했던 √5 를 계산해서 검산해 보도록 합시다.

루트계산은 제곱의 단위로 생각해야 하니까, 십진법에서는 소수점을 기준으로 해서 10² = 100 단위로 계산해 나갑니다.

(1) 소수점을 기준으로 첫 100 단위는 5 이니까, 아래에 나타낸 나눗셈의 방법과 유사하게, 제곱수가 5 이하에서 최대가 되는 자연수 2 를 왼쪽에 수직으로 나란히, 그리고 몫의 자리에 적어 넣습니다.

(2) 5 에서 2 * 2 = 4 를 빼주고 남은 1 을, 다시 100 단위가 되는 소수점 이하 둘째 자리까지 확장해서 100 으로 놓습니다.

                          2.    2    3    6         

       2               ) 5.|0 0|0 0|0 0|0 0|

       2                 4       

       42               1.|0 0

         2                   8 4       

       443                 1 6|0 0

           3                 1 3 2 9       

       4466                  2 7 1|0 0

             6                  2 6 7 9 6       

          ⋯                          3 0 4|0 0 

(3) 위의 계산식에서, 4 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

     4 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 100 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     맞춘 결과는 자연수 2 가 되지요?

     이제  2 를 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

  

(4) 다음에는, 44 의 오른쪽과 그 밑에 똑같은 숫자를 적어 넣어,

    44 [ ] * [ ] 의 곱셈을 한 결과가, 남은 1600 이하에서 최대가 되도록 맞춥니다.

     이번에 맞춘 결과는 자연수 3 이 되지요?

     같은 방법으로 3 을 수직으로 자릿수를 맞추어서 나란히, 그리고 몫의 자리에 적습니다.

 

 

(5) 이런 방법으로 계속해 나가면 √5 = 2.236 ⋯ 의 원하는 만큼의 정확한 계산 결과를 얻을 수 있습니다. 무리수이니까 당연히 끝없이 계속되겠지요?

중3 이상 또는 고등학생이라면, 제곱근표를 보거나 계산기를 쓰지 않고도, √2 와 √3 의 근사값 정도는 반드시 외워 두어야 합니다.

√2 = 1.414 ⋯

√3 = 1.732 ⋯

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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Geometry Quiz 3532

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Hint 1 " 각의 이등분선은 왜 주어진 것일까요? "

Hint 2 " 선분 PA : PB 의 비율을 알아낼 수 있을까요?"

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Solution & Answer 3532

다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

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[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

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                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2