함수그래프(1) 함수그래프의 평행이동

함수그래프의 대칭이동(1)

shifting function graphs(1)

"그래프를 움직여 가면서 대칭이동 원리를 생각해 보세요"

" Try to move the graphs to find out

the principle of parallel movement "

함수의 그래프는 고등수학의 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

중고등 학생들의 수학실력의 차이는, 함수와 그래프 개념의 이해와 응용력의 차이에서 비롯된다고 할 정도로 중요한 부분이니, 철저히 익혀 두는 것이 매우 중요합니다.

방정식과 부등식도, 함수의 그래프의 개념으로 이해하고 접근하는 법을 배우면, 어려운 수준의 문제들을 훨씬 쉽고 재미있게 해결할 수 있습니다.

이차함수나 그 밖의 어려운 함수의 그래프는 나중에 다루도록 하고, 이해하기 쉽도록, 간단한 절대값 일차함수를 가지고 그래프의 평행이동을 알아볼까요?

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앞에서, y = | x – 2 | 의 그래프를 그려 봤지요? 다시 설명하면,

(1) 붉은색 영역(x < 2) 에는 y = – x + 2 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(x ≥ 2) 에는 y = x – 2 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합집합의 개념으로 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.

이번에는 y – 3 = | x |

다시 정리해서, y = | x | + 3의 그래프를 그려 볼까요?

(1) 붉은색 영역(x < 0) 에는 y = – x + 3 의 그래프를 그리고,

(2) 푸른색 영역(x ≥ 0) 에는 y = x + 3 의 그래프를 그린 다음,

(3) 위 둘을 합치면, 위 그림의 파란색 꺾어진 그래프가 되지요.

이번에는 위에서 그려본 y = | x – 2 | 와  y = | x | + 3, 그리고  y = | x |의 그래프를 한 좌표평면에 함께 나타내 볼까요?

똑같이 합동인 그래프들이 상하좌우로 평행이동 되어 있는 것이 잘 보이나요? 그 결과를 정리해 보면,

(1) y = | x | 의 그래프를 기준으로 볼 때, x 대신에 x – 2 를 대입한

     빨간색  y = | x – 2 | 의 그래프는 오른쪽으로 2 만큼 평행이동

(2) y = | x | 를 기준으로 할 때, y 대신에 y – 3 을 대입한 y – 3 = | x |

     즉, 파란색  y = | x | + 3 의 그래프는 위쪽으로 3 만큼 평행이동

(3) 이번에는,  y = | x – 2 | 를 기준으로 본다면, x 대신에 x + 2 를 대입한

      y = | x + 2 – 2 | = | x | 의 그래프는 왼쪽으로 2 만큼 평행이동

(4) 또,  y = | x | + 3 을 기준으로 본다면, y 대신에 y + 3 을 대입한 y + 3 = | x | + 3

     즉,  y = | x | 의 그래프는 아래쪽으로 3 만큼 평행이동

마치 청개구리 같이 반대로 움직이지요?

나중에, [함수와 그래프의 변환]이라는 과목에서 설명하겠지만, 점과 그래프 그리고 축의 상대적인 이동이라는 심화개념까지 그래프의 이동을 종합적이고 체계적으로 터득한 상위수준의 학생이 아니라면, 중학수준까지는 그냥 외워서 활용하는 것이 훨씬 효율적입니다.

위에서 배운 평행이동의 원리를 식으로 정리해 볼까요?

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 y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x – α 를 대입한 y = f (x – α)의 그래프는

      y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x)

      즉, y = f (x) + β 의 그래프는

      y = f (x)의 그래프를 위쪽으로 β 만큼 평행이동

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이 청개구리 성질은 뒤에서 배우게 될 대칭이동과 확대축소 변환에서도 그대로 적용이 되니 잘 기억해 두기 바랍니다.

이번에는 꺼꾸로, 그래프를 보고 식을 찾아내 볼까요?

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 밑의 그림에서 그래프의 함수식이  y = | x – b | + a 라 할 때,

 상수 a, b 의 값을 구하여라.

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직선의 방정식(3) 한점을 지나고 평행한 직선

한점을 지나고 평행한 직선

point-slope form of a line equation

"원점을 잡고 지나는 점까지

평행이동시키세요"

" grab & drag the line

from (0, 0) to the point "

일차함수의 그래프는 중고등 수학 전과정에서 다양하게 활용되는 매우 중요한 단원입니다.

문과 고등학생 중에도 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 경우를 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 공부하는 데 꼭 필요한 중요한 개념이니까 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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기울기를 알고 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법에는 대표적으로 2 가지가 있습니다.

앞에서 배웠던 y = ax + b 를 활용하는 방법이 가장 기초적이고 기본적인 방법이라면, 한 단계 높은 수준으로, 평행이동의 개념을 이용한 y – β = m (x – α) 의 방법이 있습니다.

어느 정도 실력이 갖추어진 학생이라면, 두 번째의 평행이동을 이용한 방법을 사용하는 것이 응용력의 향상에 도움이 됩니다. 그러면 하나씩 구체적으로 알아 보도록 할까요?

[ A ] 표준적인 y = ax + b 를 활용하는 방법 (slope-intercept form)

예를 들어, 기울기가 2 이고 점 (1, 4) 를 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할 수 있을까요?

(1) 앞에서 배웠던 대로, 직선의 방정식은 y = (기울기) * x + (y 절편) 라고 세우는 것이 가장 기초적인 표준 방법이라고 했었지요? 그런데, 기울기가 2 라고 했으니까, 우선 y = 2x + b 라고 놓을 수 있습니다.

(2) 이 직선이 (1, 4) 를 지난다고 했으니까, 점의 x 좌표인 1 과 y 좌표인 4 를 각각 직선식의 x 좌표와 y 좌표의 자리에 대입하면 만족시켜야 합니다.

(3) 이제, 직선식에 이를 대입해서 b 값을 구하면,

4 = 2 * 1 + b

b = 2

∴  y = 2x + 2

[ B ] 평행이동 y – β = m (x – α) 를 활용하는 방법 (point-slope form)

이번에는, 평행 이동의 개념을 활용해서 직선의 방정식을 구하는 방법에 대해서 알아 보도록 합니다.

예를 들어, y = (1 / 2) x 와 평행하면서 점 A = (2, 3) 을 지나는 직선의 방정식을 구해 보도록 할까요?

아래의 그림에서 보듯이 두 직선은 평행하니까, 우리가 식을 구하려는 파란색의 직선은

(1) 검은색의 직선 y = (1 / 2) x 위의 원점을 잡은 다음,

(2) 빨간색 점선을 따라 점 A = (2, 3) 까지 평행이동을 시킨 것이라고 생각해도 되겠지요?

바로 이 원리를 이용하면, 아주 쉽게 파란색 직선의 방정식을 구해 낼 수 있습니다.

위에서 설명한 대로, 파란색의 직선은 검은색 직선 위의 원점 (0, 0) 을 빨간 점선을 따라, 오른쪽으로 2 만큼 그리고 동시에 위로 3 만큼 평행이동 것이니까, 검은색 직선의 식에서, x 대신에 x – 2 를, y 대신에 y – 3 을 동시에 ( ∩ ) 대입하면 됩니다.

y – 3 = (1 / 2) (x – 2)

y = (1 / 2) x – (1 / 2) * 2 + 3

∴  y = (1 / 2) x + 2

이 평행이동을 활용한 방법은 중요하니까, 문자를 써서 정리해 볼까요?

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기울기가 m 이고, 점 (α, β) 를 지나는 직선의 방정식은

y – β = m (x – α)

∴  y = m (x – α) + β 

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공식도 정리했으니까, 확인 문제를 한 번 풀어 볼까요?

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직선 y = (1 / 3) x 와 수직이면서, 점 (– 2, 8) 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라. 

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(1) 수직인 두 직선의 기울기는 서로 곱하면 – 1 이 된다는 것은 잘 알고 있겠지요? 따라서, 구하는 직선의 기울기는 – 3 이 됩니다.

(2) 이제, 기울기 = – 3 을 알아 냈고, 점 (– 2, 8) 을 지난다고 했으니까, 위에서 배운 공식을 그대로 적용하면,

y – 8 = – 3(x – (– 2))

y – 8 = – 3x + 3 * (– 2)

y  = – 3x – 6 + 8

∴  y = – 3x + 2