연립일차부등식(5) 연립일차부등식의 활용

연립일차부등식의 활용

systems of linear inequalities word problem - catch up

"부등식을 세운 다음에는 그래프나 다이어그램으로 해결해 보세요"

" try to visualize your strategy after translating into inequalities "

  

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선 (number line) 이나 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프나 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀 두어야 합니다.

부등식 해의 정확한 구간이라는 것이 다른 표현으로는 바로 최대값 및 최소값 문제이므로, 부등식의 영역과 함수 그래프의 개념으로 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 정수해의 개수를 구하는 문제 유형을 보도록 할까요?

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  아래의 연립 일차부등식의 해가 2 개의 정수만을 포함하도록 상수 a 의 값의 범위를

  구하여라.

            ↱   – 2x + 1 > – x – 3

            ↳   2x + a – 1 ≤ 3x + 1

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(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 서로 다른 두 부등식을 구분할 수 있도록 각각 번호를 붙입니다.

x < 4       ⋯ ①

x ≥ a – 2  ⋯ ②

(2) 두 부등식 중에서, 미지수가 없는 x < 4 의 구간을 먼저 수직선 (number line) 에 나타냅니다. 아래 그림에서 파란색 구간으로 표시한 것과 같이, 등호가 없으니까 큼직하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시한다고 했지요?

(3) 그 다음에, 미지수가 포함된 x ≥ a – 2 의 구간을, 문제의 조건에 맞게 2 개의 정수만 포함되도록, 높이를 다르게 해서 그려 넣습니다.

위 그림의 빨간색 구간은 등호가 있으니까, 속이 채워진 동그라미로 표시해야 하겠지요? 만일, 조금 어렵게 느껴진다면, (a – 2) = k 로 치환해도 좋습니다.

(4) 문제에서 정수의 개수가 2 개라고 했으니까, 위 그림에서 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 2 와 3 이 보라색의 공통구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내면 됩니다.

(5) 만일 정확한 판단이 어렵게 느껴진다면, 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 1 또는 2 위에 아예 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

1 < (a – 2) = k ≤ 2

∴  3 < a ≤ 4

이번에는 그래프를 이용하는, 조금 다른 유형의 따라잡기 문제를 풀어 보도록 할까요?

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   30 분 전에 시속 50 km/h 의 오토바이를 타고 도망간 범인을, 경찰이 순찰차로

   그 뒤를 쫓기 시작하였다. 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 최소한 얼마 이상의

   속력으로 달려야 하는가?

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(1) 우선, 문제에서 묻고 있는 경찰차의 속력을 x km/h 라고 놓고, 시간 단위를 통일

     시켜야 합니다. 또한, 가급적 분수식 보다는 [속력 × 시간 = 거리] 의 곱셈 형태가

     좋다고 지난번에 배웠지요?

(2) 이제, 경찰차가 달린 시간을 1 시간 이라고 놓고, 부등식을 세워 보도록 할까요?

경찰차가 달린 거리 = x km/h × 1 시간

범인이 달린 거리 = 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

(3) 따라서, 경찰이 범인을 검거할 수 있으려면, 아래의 계산 결과와 같이

     경찰차의 최소 속력은 75 km/h.

x km/h × 1시간 ≥ 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

∴  x ≥ 75

이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 일반적인 그래프로 나타내기 위해서는, 경찰차가 달린 시간을 t 라고 놓은 다음,

     정의역인 가로축으로 정하고, 경찰차와 범인이 달린 거리를 함수인 y 축으로

     놓는 것이 좋습니다.

(2) 범인이 달린 거리는 y = f (t) = 50 × (t + 0.5) 이고, 경찰차가 달린 거리는

     y = g (t) = x × t 가 되니까,

f (t) = 50 × (t + 0.5) ≤ x × t = g (t)

(3) 위 부등식의 좌변과 우변을, 한 좌표평면에 직선의 그래프로 나타내 볼까요?

(4) 범인은 30분 전에 50 km/h의 속력으로 도주하였으니까 위 그래프에서 빨간색의 직선으로, 경찰차는 추격하는 속력을 구하는 것이니까 파란색의 실선 또는 점선으로 나타낼 수 있겠지요?

(5) 이제, 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 위 그래프의 노란색 으로 표시된 영역 안에서 경찰차인 파란색의 실선 혹은 점선이 범인인 빨간색 실선과 만나거나 그 위에 있어야 하겠지요?

(6) 따라서, 경찰차가 달려야 하는 최소한의 속력은, 그래프에서 파란색의 실선인 경우가 됩니다. 즉, 함수식에 (1, 75) 를 대입하면 경찰차의 최소한의 속력이 구해집니다.

y = g (t) = x × t

75 = 1 × t

∴  x = 75 km/h

기초 단계에서는, 좌표평면에서 그래프나 부등식의 영역으로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록 더욱 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.

연립일차방정식(4) 연립일차방정식의 응용(트랙)

연립일차방정식의 활용(트랙)

systems of linear equations word problem

- walking in the same or opposite direction

"같은방향인지 반대방향인지에 따라 식이 달라지지요"

" choose the formula depends on 'catch up' or in opposite direction "

트랙에서 같은 방향 또는 반대방향으로 도는 문제유형을 어려워하는 학생이 상당히 많습니다만,

이 유형의 문제들 역시, 그림의 이미지나 시각화된 다이어그램과 함께 이해하고 기억해 두면, 큰 어려움 없이 자신감을 가지고 해결할 수 있습니다.

고등과정에서 수학을 잘하는 우수한 학생들의 특징은, 어려운 개념을 영리하고 쉽게, 그림이나 다이어그램으로 도식화를 아주 잘한다는 점입니다.

[시간, 거리, 속력] 의 전형적인 연립방정식이므로 분수식 보다는, [거리 = 속력 × 시간] 의 곱셈 형태로 식을 세워야 분수식 계산에서의 잦은 실수를 방지할 수 있습니다. 

고등수학에서도 응용계산으로 결합되는 유형으로 자주 출제되니, 이렇게 가장 전형적인 유형들은 각각의 표준적인 해결 방법에 따라, 철저하게 원리를 이해하고 복습해 두어야 합니다.

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우선, 두 사람이 트랙을 같은 방향으로 돌 때와 반대 방향으로 돌 때에 따라, 거리 계산을 어떻게 해야 하는 것인지, 아래 그림을 통해 자세히 알아 보도록 할까요?

[1] 반대 방향으로 도는 경우

 

    반대방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계방향으로 걸은 빨간색 실선과 B가 시계 반대 방향으로 걸은 파란색 실선의

    합계가 호수의 둘레 길이가 된다는 것을 잘 기억해 두어야 합니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] + [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] + [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

[2] 같은 방향으로 도는 경우

 

  

    같은 방향으로 돌 때는, 위 그림의 출발점에서 만나는 도착지점까지

    A가 시계 반대방향으로 한 바퀴 이상 걸은 빨간색 실선과, B도 시계 반대 방향으로

    걸은 파란색 실선의 차이가 호수의 둘레 길이가 됩니다.

 따라서,

     [A의 속력 × A가 걸은 시간] – [B의 속력 × B가 걸은 시간]

  = [빨간색 실선거리] – [파란색 실선거리]

  = [호수의 둘레 길이] 가 됩니다.

그러면, 다음 문제를 풀면서 자세히 연구해 볼까요?

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 둘레의 길이가 3 Km 인 호수를, 형과 동생이 같은 지점에서

 동시에 출발하여, 반대방향으로 돌면 12 분 후에 처음으로

 만나고, 같은 방향으로 돌면 1 시간 후에 처음 만난다.

 형보다 느리게 걸은 동생의 속력을 구하여라.

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(1) 제일 먼저, 앞에서 배운 두 종류의 그림을 그리거나,

     트랙의 이미지를 머리 속에 떠올려야 하겠지요?

(2) 문제에서 주어진 시간 단위를 통일해서 식을 세워야 하겠지요?

     따라서, 속력 단위는 문제 뜻에 적합한, 분당 몇 미터의 단위로

     통일하는 것이 좋겠지요?

(3) 문제에서 묻고 있는 동생의 속력을 x m/m 라고 놓고,

     형의 속력을 y m/m 로 놓은 다음, 위의 이미지를 생각하면서

     거리를 기준으로 [거리=속력 시간]의 곱셈 형태로

     식을 세워야지요?

(4) 반대 방향으로 돌 때는, 위 그림에서 형이 걸은 빨간색 실선과,

     오른쪽으로 동생이 걸은 파란색 실선의 합계가 호수의 둘레

     길이가 되니까,

12 × x + 12 × y = 3000

(5) 같은 방향으로 돌 때는, 위 이미지에서 형이 한 바퀴가 넘게

     걸은 빨간색 실선에서, 동생이 걸은 파란색 실선을 빼주면,

     호수의 둘레길이가 되지요?   따라서,

60 × y – 60 × x = 3000

(6) 이제, 미지수가 2개인 연립방정식을 풀면,

↱  12 × x  + 12 × y = 3000   ⋯ ①

↳  60 × y  –  60 × x = 3000   ⋯ ②

[가감법] ① Χ 5 – ② :

(12×5 + 60) x = 3000×5 – 3000

120 x = 12000

따라서,  x = 100

(7) 답  :  동생의 속력은 100 m/m

이제, 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

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  둘레의 길이가 12 인 호수를 형과 동생이 같은 지점에서

  동시에 자전거를 타고 출발하여, 같은 방향으로 돌면 3시간

  후에 처음 만나고, 반대방향으로 돌면 45분 후에 처음으로

  만난다. 동생이 더 느리다고 할 때, 형의 속력을 구하여라.

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