케일리-해밀턴 정리의 역
converse of Cayley-Hamilton theorem
"반례에는 실수배의 단위행렬도 있어요"
" [k x I2] is also a counter example "
최근 들어, [케일리-해밀턴 정리]는 표준교과 외의 개념으로 간주되어, 평가원의 수능이나 모의 수능에서는 거의 제외되고 있습니다만,
그럼에도 불구하고, 아직도 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, 최소값 또는 최대값을 물어보는 문제로 자주 출제 됩니다.
결과는 간단하니까, 이왕이면 이해해 두고, 외워서 문제 해결에 활용하기 바랍니다.
참고로, [행렬] 단원은 구 고등과정 교과표준에 따라 (2×2) 행렬을 기준으로 설명하며, 현재 고 1 부터는 이 [행렬] 단원을 개정된 표준교과에 따라, 배우지 않는다는 점도 알아 두기 바랍니다.
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앞에서 배웠던 [케일리-해밀턴 정리]의 내용을 복습해 볼까요?
행렬 A = [ a b ] 가 주어졌을 때, A2 – (a + d) A + (ad – bc) E = O 는 항상 성립하고,
[ c d ]
이 식을 [케일리-해밀턴 정리] 라고 했었지요?
* 참고로, 우리나라에서는 (2 x 2) 의 단위행렬을 E 라고 표현하지만, 영미권 국가에서는 I2 라고 표현합니다.
그러면, 이번에는 반대로, A2 – A – 2E = O 를 만족하는 행렬 A 를 어떻게 찾아 내는지, 한 번 알아 보도록 할까요?
우리가 배웠던 [케일리-해밀턴 정리] 를 기억한다면, ① a + d = 1 이고
② ad – bc = – 2 를 만족하는 행렬이기만 하면, 아무거나 다, 행렬 A 가 될 수 있겠지요?
즉, 미지수가 4 개인데, 식은 2 개 밖에 없는 연립방정식이니까, 해가 무수히 많을 것이고, 따라서 행렬 A 도 무수히 많겠군요.
한번 구체적인 예를 들어 볼까요?
[ 1 2 ]
[ 1 0 ]
[ 0 2 ]
[ 1 1 ]
︙
위의 무수히 많은 ... , 이런 종류들만 있는 것이 아닙니다. [케일리-해밀턴 정리] 의 역은 성립하지 않는다고 할 때, 진짜로 중요한 반례는 따로 또 있습니다.
원리는 뒤에서 설명하도록 하고 우선 그 진짜로 중요한 반례를 찾는 요령부터 알아 보도록 할까요?
주어진 식, A2 – A – 2E = O 는 곱셈의 교환이 가능한 A 와 E 만으로 이루어져 있으니까, 인수분해가 가능하겠네요.
(A + E)(A – 2E) = O
∴ A = – E or A = 2E
마치 이차방정식을 푸는 것과 같이, 구해지는 A = – E 또는 A = 2E가 진짜로 중요한 또 다른 반례입니다.
실제로 케일리-해밀턴의 식을 만족하는지 확인해 볼까요?
A2 – A – 2E = (– E)2 – (– E) – 2E = O
A2 – A – 2E = (2E)2 – (2E) – 2E = O
왜, 이런 일이 일어난 것일까요? 문자를 써서 일반적인 원리를 알아내 볼까요?
[케일리-해밀턴 정리] 의 역이 '참' 으로서 성립한다 라고 가정한다면,
행렬 A = [ a b ] 에 대하여, A2 + p A + q E = O 이라는 식은 반드시
[ c d ]
A2 – (a + d) A + (ad – bc) E = O 이라는 식과 일치해야 되겠지요?
(1) 따라서, 두 식을 항등식으로 같다고 놓고 풀어서 정리하면,
A2 + p A + q E = A2 – (a + d) A + (ad – bc) E
(a + d + p) A = (ad – bc – q) E
(2) 여기서, a + d + p = 0 이라면, 원래의 케일리-해밀턴의 식이 성립하는 것이지만, 만일 a + d + p ≠ 0 이라면, A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E.
(3) 바로 이 행렬 A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E 가 [케일리-해밀턴 정리] 의 계수와 관련이 없는, 또 다른 반례가 되는 행렬입니다.
(4) A = {(ad – bc – q)/(a + d + p)} E = k E 라 놓고, 앞의 예인 A2 – A – 2E = O 에 대입해 볼까요?
A2 – A – 2E = O
(k E)2 – (k E) – 2E = O
(k2 – k – 2)E = O
(5) 따라서, k2 – k – 2 = 0 이니까, 앞에서 ‘마치 이차방정식을 푸는 것과 같은’ 원리로 구해지는 것입니다.
(k + 1)(k – 2) = 0
∴ A = – E or A = 2E
이 결과를 하나의 공식과 같이 정리해 둘까요?
A2 + p A + q E = O 을 만족하는 행렬 A = [ a b ] 를 찾아내는 방법은,
[ c d ]
(1) [케일리-해밀턴 정리] 에서 a + d = – p 와 ad – bc = q 를 만족하는 행렬들을
찾아내거나,
또는 (or)
(2) 추가로, A = k E 인 경우도 생각해서, k2 + pk + q = 0 를 만족하는 실수배의
단위행렬(들)도 찾아내야 한다.
최근 들어, 이 유형은 평가원의 수능 혹은 모의수능에서는 거의 출제되고 있지 않지만, 학원가 또는 수능문제집의 심화유형에서, a + d 의 최소값이나 ad – bc 의 최대값을 물어보는 문제로 꾸준히 출제되고 있습니다.
보기 문제를 하나 보도록 할까요?
행렬 A = [ a b ] 가 A2 – 2A – 3E = O 을 만족할 때, a + d 의 최솟값을 구하여라.
[ c d ]
(1) 우선, A ≠ k E 인 경우를 생각해서, [케일리-해밀턴 정리] 를 적용해야 하겠지요?
a + d = 2, ad – bc = – 3
∴ a + d = 2
(2) 그 뿐만이 아니라, 이제 A = k E 인 경우도 생각해야 되겠지요?
k2 – 2k – 3 = (k – 3)(k + 1) = 0
k = 3 or k = – 1
A = [ 3 0 ]
[ 0 3 ]
or
A = [ -1 0 ]
[ 0 -1 ]
∴ a + d = 6 or – 2
(3) 따라서, 답인 a + d 의 최솟값은 – 2.
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