소수와 유리수
decimals & rational numbers
"소수는 모두 유리수인가요?"
" Is every decimal a rational number? "
분수(分數, fraction)는 그 표현의 모호성 때문에 정수, 유리수 또는 무리수와 같은 엄밀한 수학적 용어로 사용하기에는 조금 무리가 있습니다.
뿐만 아니라, 한국어권과 영미권 사이에서 분수(分數, fraction)의 뜻과 정의가 서로 다르게 사용되고 있기 때문에 그 차이를 정확하게 이해해 둘 필요가 있습니다.
분수(分數)와 소수(小數)는 유리수인지 혹은 아닌지를 혼동하는 학생들이 과거에 비해 의외로 많습니다.
이 내용과 관련된 진위의 판단을 어려워하는 것을 보면, 아마도 기본적인 집합과 명제의 개념을 배우지 못하는 개정표준교과의 영향인 것으로 보입니다.
표준교과 외의 내용이기는 하나, 기초적인 집합과 명제의 개념은 상위 수준의 수학을 공부하는데 반드시 필요한 기본 개념이니까, 정확한 기초 개념과 원리를 이해해 두기 바랍니다.
한자어로 소수(小數)는 0 과 1 사이의 작은 수를 암시하지만, 실제로는 2.03 또는 –7.125 와 같이 소수점으로 표현할 때, 소수점 이하 작은 자리의 값을 가진 수를 말합니다.
영어로는 decimal fraction 이라고 표현하는 것과 같이, 분수는 분수인데 십진법의 방법으로 표현하는 작은 자리의 값을 가진 분수라고 말할 수도 있지요.
분수(fraction) 1 / 8 = 1 / (2 x 2 x 2)
= (1 x 5 x 5 x 5) / (2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5)
= 125 / (10 x 10 x 10)
= 0.125 소수(decimal fraction)
위의 예와 같이 소수점 아래에 0 이 아닌 숫자가 유한개(위의 예에서는 3개)인 소수를 유한소수라 하고, 소수점 아래에 0 이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수를 무한소수라고 말합니다.
2 / 3 = 0.666⋯ 와 같이 소수점 아래에 0 이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 예가 무한소수이지요.
그러면 분수를 소수(decimal fraction)로 표현할 때, 어떤 종류의 분수인가에 따라 유한개 혹은 무한개의 소수점 이하의 꼬리가 달리는 것일까요?
(1) 1 / 8 = 1 / (2 x 2 x 2)
= (1 x 5 x 5 x 5) / (2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5)
= 125 / (10 x 10 x 10)
위 (1)번의 예에서는, 분자와 분모에 5 x 5 x 5 를 모두 똑같이 곱해주면 분모가 모두 10 이거나 또는 10의 거듭제곱으로 변환할 수 있었기 때문에, 유한개의 꼬리를 갖지요.
= 125 / (10 x 10 x 10)
= (100 + 20 + 5) / (10 x 10 x 10)
= 100 / 1000 + 20 / 1000 + 5 / 1000
반면에 아래 (2)번의 예에서는, 분모에 있는 3 이라는 숫자 때문에 어떤 수를 곱해 주더라도 분모를 10 이거나 또는 10의 거듭제곱으로 변환시킬 수가 없습니다. 따라서 무한개의 꼬리를 가질 수 밖에 없지요.
= (1 x 5) / (2 x 5 x 3 )
= 5 / (10 x 3)
예제를 한 번 풀어 보도록 할까요?
다음 분수들을 소수로 나타낸다고 할 때 무한소수가 되는 유리수를 있는 대로 고르면?
① 5 / 12 ② 6 / 25 ③ 11 / 16 ④ 15 / 21
(1) 분수 5 / 12 의 분모 12 = 2 x 2 x 3 은 분모에 있는 3 이라는 숫자 때문에 어떤 수를 곱해 주더라도 분모를 10 이거나 또는 10의 거듭제곱으로 변환시킬 수가 없습니다.
따라서, 무한개의 꼬리를 가지는 무한소수이며, '정수 / 0 이 아닌 정수' 형태로 표현되므로 유리수입니다.
(2) 분수 6 / 25 의 분모는 25 = 5 x 5 이므로, 문자와 분모에 각각 2 x 2 만 곱해 준다면 분모를 10 의 거듭제곱으로 변환시킬 수 있습니다.
따라서, 2자리의 꼬리를 가지는 유한소수이며, '정수 / 0 이 아닌 정수' 형태로 표현되므로 유리수입니다.
6 / 25 = 6 / (5 x 5)
= (6 x 2 x 2) / (5 x 5 x 2 x 2)
= 24 / (10 x 10)
= (20 + 4) / (10 x 10)
= 20 / 100 + 4 / 100
(3) 분수 11 / 16 의 분모는 16 = 2 x 2 x 2 x 2 이므로, 문자와 분모에 각각 5 x 5 x 5 x 5 만 곱해 준다면 분모를 10의 거듭제곱으로 변환시킬 수 있습니다.
따라서, 4자리의 꼬리를 가지는 유한소수이며, '정수 / 0 이 아닌 정수' 형태로 표현되므로 유리수입니다.
11 / 16 = 11 / (2 x 2 x 2 x 2)
= (11 x 5 x 5 x 5 x 5) / (2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 5)
= (11 x 625) / (10 x 10 x 10 x 10)
= (6875 / (10 x 10 x 10 x 10)
= 6000 / 10000 + 800 / 10000 + 70 / 10000 + 5 / 10000
= 0.6 + 0.08 + 0.007 + 0.0005
(4) 분수 15 / 24 의 분모는 2 x 2 x 2 x 3 으로, 어떤 수를 곱해 주더라도 분모를 10의 거듭제곱으로 변환시킬 수가 없는 3 이 있기는 합니다만, 분자도 5 x 3 으로 공통인수 3 으로 약분이 가능하다는 것을 알 수 있습니다.
분자와 분모를 공통인수로 우선 약분하면, 15 / 24 = 5 x 3 / 2 x 2 x 2 x 3 = 5 / 2 x 2 x 2
= (5 x 5 x 5 x 5) / (2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5)
= 625 / (10 x 10 x 10)
= 600 / 1000 + 20 / 1000 + 5 / 1000
따라서, 3자리의 꼬리를 가지는 유한소수이며, '정수 / 0 이 아닌 정수' 형태로 표현되므로 유리수입니다.
이제, 숨어 있는 원리를 알아 챘나요?
분모가 2 또는 5의 곱으로만 되어있으면, 부족한 2 나 5 를 곱해 주어서 분모를 10 또는 10의 거듭제곱으로 변환할 수 있습니다.
이 방법으로 십진법인 10의 거듭제곱을 분모로 하는 분수로 바뀌게 되고, 이제는 보이는 분자의 숫자 그대로를 소수로 읽고 표현할 수 있게 되는 것이지요.
그러면, 이 내용을 문자로 일반화시켜서, 공식으로 정리해 두도록 할까요?
분수를 기약분수로 나타내고 그 분모를 소인수로 분해했을 때
(1) 분모의 소인수가 2 나 5 뿐이면 유한소수로 변환되고 표현할 수 있다.
(2) 분모의 소인수 중에 2 나 5 이외의 소인수가 있으면 무한소수로 표현된다.
그러면 관련된 연습 문제들을 풀어 보도록 할까요?
1/3 과 4/5 사이의 분수 중에서 분모가 15이면서 유한소수인 것은 모두 몇 개인지 구하여라.
(1) 1/3 = 5/15 이고 4/5 = 12/15 이므로 1/3 과 4/5 사이의 분수들을 나열해 보면
6/15, 7/15, 8/15, ⋯ , 11/15
(2) 이들 중에서 분모 15 = 3 x 5 에서 소인수 3 을 분자도 갖고 있는 분수는
6/15 (= 2/5), 9/15 (= 3/5)
(3) 따라서 답 : 2 개
두 분수 1/14 과 3/130 에 각각 a 를 곱해 주면 두 분수 모두 유한소수로 나타낼 수 있다고 한다. 이 때 a 의 값이 될 수 있는 자연수 중에서 가장 작은 수를 구하여라.
(1) 두 분수의 분모들을 각각 소인수로 분해해 보면, 1 / 14 = 1 / (2 x 7) 이고
3 / 130 = 3 / (2 x 5 x 13) 이므로
(2) 자연수 a 는 7 과 13 의 배수이어야 한다.
(3) 이들 중에서 가장 작은 수는 7 과 13 의 최소공배수이므로
