이차함수(3) 포물선의 방정식

포물선의 방정식

various forms of a parabolic equation

"그래프를 보고 포물선의 방정식을 알아내 볼까요?"

" how to find the equation of the parabola

by looking at the graph? "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

기초부터 아주 쉽게  설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두기 바랍니다.

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이번에는 역으로 이차함수의 그래프를 보고 나서, 여러가지 포물선의 성질을 알아 내거나 그 포물선의 식을 알아내는 방법에 대하여 살펴보도록 하지요.

각각의 유형별로 어떻게 식을 세워야 하는지를 철저하게 이해하고, 잘 기억해 두는 것도 반드시 필요하지만,

가능한 한, 주어진 조건들 만으로 포물선의 그래프를 그려 보고, 아래에서 설명되는 기본적인 여러 가지 방법을 추가로 섞어 보면서 이차함수 식들을 세워보려는 노력의 과정이 더욱 중요합니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는 중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

[ A ]  꼭지점의 좌표가 주어진 경우

꼭지점의 좌표가 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 좋습니다.

이 경우, 꼭지점의 좌표인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 이고, 점 (1, 5) 를 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 꼭지점의 좌표가 주어졌으니까, 포물선의 식을

       y = a (x – α)² + β 의 꼴로 세워야 하겠지요?

(2) 꼭지점의 좌표가 (2, 3) 으로 주어졌으니까,

       y = a (x – 2)² + 3

(3) 이제, 미지수가 a 하나이니까, 한 개의 추가 조건만 찾으면 되겠지요?

      그런데, 점 (1, 5) 를 지난다고 주어졌네요.

(4) 위의 식에 (1, 5) 를 대입하면,  5 = a (1 – 2)² + 3 에서, a = 2

      따라서, 답은  y = 2(x – 2)² + 3

[ B ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우

x 축과의 두 교점은 바로 이차방정식의 두 근이 되는 것이지요?

따라서, x 축과의 두 교점이 주어진 경우에는,  y = a (x – α )(x – β ) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 좋습니다.

이 경우, 두 근인 α 와 β 는 이미 주어진 것이므로, 이차항의 계수인 a 를 구하기 위한 나머지 하나의 조건만 추가로 주어진다면, 함수식을 구할 수 있겠지요?

이번에도, 보기 문제를 하나 풀어 볼까요?

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 두 점 (2, 0) 과 (6, 0) 를 지나고, y 절편이 24 인

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 우선, 두 점의 y 좌표가 0 이라는 점에 착안해서, x 축과의 두 교점이

      2 또는 6 이라는 것을 알아내야 하겠지요?

(2) 이차방정식의 두 근이 2 또는 6 이라는 것을 알아낸 것이니까,

      y = a (x – 2)(x – 6)

(3) 이제, 미지수가 a 하나만 남았는데, y 절편이 24 라고 주어졌지요?

(4) 위의 식에 (0, 24) 를 대입하면, 24 = a (0 – 2)(0 – 6) 에서,

      a = 2   따라서, 답은  y = 2(x – 2)(x – 6)

[ C ]  세 점이 주어진 경우

꼭지점이나 포물선 축 또는 x, y 축과의 교점도 아닌, 일반적인 세 점이 주어진 경우에는, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의 꼴로 세우는 방법 밖에 없겠지요?

따라서, 미지수 3 개, 방정식 3 개인 삼원일차 연립방정식을 풀어야 합니다. 연립방정식은 항상 전략을 가지고 풀어 나가야 하고, 당연히 사소한 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.

예제를 하나 풀어 볼까요?

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 세 점 (–1, 4) , (1, 2)  와  (2, 7) 을 지나는

 포물선의 방정식을 구하여라.

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(1) 일반적인 세 점이 주어진 경우니까, 할 수 없이  y = ax² + bx + c 의

      꼴로 식을 세워야 하겠지요?

(2) 세 점을 각각 대입하여, 연립방정식을 세우면,

↱   a – b + c = 4       ⋯ ①

     a + b + c = 2       ⋯ ②

↳  4a + 2b + c = 7    ⋯ ③

(3) 식을 살펴보니까, b 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ① + ② :

a + c = 3  ⋯ ④

     [가감법] ① * 2 + ③ :

 2a + c = 5  ⋯ ⑤

(4) 이제는, c 를 소거하는 것이 편하겠지요?

     [가감법] ⑤ – ④ :

        a = 2    

따라서,  b = – 1  이고  c = 1

(5) 따라서,  답은   y = 2x² – x + 1

[ D ]  기타의 경우

전략적인 풀이방법의 핵심을 요약하면,

(1) 문제 뜻에 맞는 가장 적절한 포물선 식을 세우고,

(2) 내가 세운 식에서 부족한 미지수의 개수만큼, 추가로 주어지거나

      또는 숨어 있는 조건들을 찾아낸 후,

(3) 대입해서, 실수 없이 계산하면, 반드시 정답이 나옵니다.

[ D - 1 ]  예를 들어, 포물선의 축이 주어진 경우에는, y = a (x – α)² + β 의 꼴로 포물선의 식을 세우고 나서, 미지수를 구하는 것이 일반적입니다.

이 경우는, 꼭지점의 x 좌표인 α 만이 주어진 것이므로, 남은 미지수인 a 와 β 를 구하기 위한  나머지 두 개의 조건이 추가로 되어야만, 함수식을 구할 수 있습니다.

[ D - 2 ]  x 축과의 두 교점이 주어진 경우는 바로 이차방정식의 두 근이 주어진 경우이니까, y = a (x – α)(x – β) 의 꼴로 포물선의 식을 세우는 것이 일반적이지만,

이 경우에도, 두 근의 중점인  x = (α + β) / 2 를 포물선의 축이 지난다는 성질을 이용할 수도 있습니다.

앞에서도 설명했지만, 주어진 조건을 가지고 포물선의 그래프를 이리저리 그려 보고, 위에서 설명된 기본적인 식들을 여러 가지 방법으로 섞어 보면서, 풀어 보기 바랍니다.

다시 한번 강조하지만, 특히 [함수와 그래프] 단원에서는  중, 고등과정의 수학에 나오는 모든 식들을 가능한 한 그래프로 그려 보려고 노력하는 만큼, 수학실력이 쑥쑥 자라나게 됩니다.

이차함수(2) 이차함수의 그래프(2)

이차함수의 그래프(2)

quadratic function graphs

"포물선 그래프는 물리학, 공학

경제학, 경영학 등 다양한 분야에서 활용돼요"

" The graph of parabola is used in various field

such as physics, engineering, economics and bysiness "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중 고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

이 단원에서도, 아주 쉽게 기초부터 친절하게 설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

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앞에서 배운, 이차함수의 그래프인 포물선, y = ax² 을 잘 기억하고 있지요?

이번에는, 이 포물선을 [그래프의 평행이동]과 관련 지어서, 자세히 살펴보도록 하지요.

우선, 지난 2 월에 배웠던 [함수 그래프의 평행이동]을 다시 복습해 볼까요? 설명했던, 청개구리 성질이 기억 나나요?

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  y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x – α 를 대입한  y = f (x – α) 의 그래프는

       y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x)

      즉,  y = f (x) + β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를

      위쪽으로 β 만큼 평행이동

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[ A ]  y = a (x – α)² 의 그래프

예를 들어, (1) y = 2(x – 2)²  과  (2) y = 2(x + 3)² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞에서 복습한, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 아주 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = 2x² 이라고 놓으면,

(1) y = 2(x – 2)² 는 원래의 함수 식에서, x 대신에 x – 2 를 대입한 것이므로,

아래 그림에서의 파란색 포물선과 같이 오른쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 똑같은 평행이동의  원리로, y = 2(x + 3)² 는 원래의 함수 식에서 x 대신에 x + 3 을 대입한 것이므로, 위 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 왼쪽으로 3 만큼 평행이동한

따라서 포물선 축이 x = – 3 이 되겠지요?

[ B ]  y = ax² + β 의 그래프

이번에는, (1) y = – x² – 1  과  (2) y = – x² + 2 의 그래프도, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = – x² 이라고 놓으면,

(1) y = – x² – 1 은 원래의 함수 식에서, y 대신에 y + 1 을 대입한 것이므로, 아래 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 아래쪽으로 1 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 또,  y = – x² + 2 는 y – 2 = – x² + 2. 즉, 원래의 함수 식에서, y 대신에 y – 2 를 대입한것이므로, 위 그림에서의 파란색 포물선과 같이 위쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

[ C ]  y = a (x – α)² + β 의 그래프

이제, 앞에서 배운 것을 종합하면, 위 함수식의 그래프는 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요? 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 됩니다. 

최초의 포물선 함수식 y = ax² 에서, x 대신에 x – α 를 대입하고 그리고 동시에( ∩ )

 y 대신에 y – β 를 대입한 그래프이므로, y = ax² 의 포물선 그래프를 오른쪽으로 α 만큼

 평행이동 그리고 동시에( ∩ ) 위쪽으로 β 만큼 평행이동한 것이지요.

(1) 따라서, 포물선의 축은 x = 0 에서 x = α 로 바뀌게 되고

(2) 포물선의 꼭지점은 (0, 0) 에서 (α, β) 로 바뀌게 됩니다.

[ D ]  y = ax² + bx + c 의 그래프

이제, 일반적인 y = ax² + bx + c 로 주어지는 이차함수의 그래프는, 위에서 공부한 대로  y = a (x – α)² + β 의 꼴로 바꾸기만 하면, 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고,

[함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요?

구체적으로 예를 들어서, y = 2x² – 12x + 19 의 그래프를 그려 볼까요?

(1) 우선, 함수 식을 y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야,

      [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용할 수가 있겠지요?

   y = 2x² – 12x + 19

= 2(x – 3)² + 1

y – 1 = 2(x – 3)² 

(2) 최초의 함수식 y = 2x² 에서, x 대신에 x – 3 그리고 동시에( ∩ )

       y 대신에  y – 1 를 대입한 것이라고 볼 수 있으므로,

      아래 그림과 같이 꼭지점 (0, 0) 에서 (3, 1) 로 평행 이동한

      빨간색 포물선이 됩니다.

문자를 써서, 이 내용을 일반화시켜 볼까요?

(1) 우선, 함수식 y = ax² + bx + c 을  y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야 하겠지요?

  y = ax² + bx + c

            = a{x² + (b/a)x} + c

            = a{x² + (b/a)x + (b/2a)²} + ⋯

            = a{x + (b/2a)}² + β

(2) 따라서, 최초의 함수식인 y = ax² 에서, x 대신에 x + b/2a 그리고 동시에( ∩ ) y 대신에

    y – β 를 대입한 것이니까, 꼭지점 (0, 0)에서 (– b/2a,  β)로 평행이동한 포물선이 됩니다.

참고로, 문자로 일반화 했을 때에는, 축의 방정식 x = – b/2a 또는 꼭지점의 x 좌표만을 기억해 두는 것이 좋습니다.

꼭지점의 y 좌표까지 공식으로 외우는 것은 불필요한 시간과 노력의 낭비일 뿐이며, 숫자로 주어진 경우에만 대입, 계산하여 필요한 답을 구하면 됩니다.