이차함수(2) 이차함수의 그래프(2)

이차함수의 그래프(2)

quadratic function graphs

"포물선 그래프는 물리학, 공학

경제학, 경영학 등 다양한 분야에서 활용돼요"

" The graph of parabola is used in various field

such as physics, engineering, economics and bysiness "

이차함수의 그래프는 중 3 과정뿐만 아니라, 고등과정의 이차 방정식 및 미적분 등에 이르기까지, 중 고등수학 전 과정에서 연계형 유형으로 다양하게 응용되는 가장 기본적인 개념입니다.

수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 익혀 두기 바랍니다.

이 단원에서도, 아주 쉽게 기초부터 친절하게 설명할 예정이니, 철저히 이해하고 응용력을 키워 두어야 합니다.

다시 강조하지만, 문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

앞에서 배운, 이차함수의 그래프인 포물선, y = ax² 을 잘 기억하고 있지요?

이번에는, 이 포물선을 [그래프의 평행이동]과 관련 지어서, 자세히 살펴보도록 하지요.

우선, 지난 2 월에 배웠던 [함수 그래프의 평행이동]을 다시 복습해 볼까요? 설명했던, 청개구리 성질이 기억 나나요?

───────────────────────

  y = f (x) 라는 함수의 그래프가 주어졌을 때,

 (1) x 대신에 x – α 를 대입한  y = f (x – α) 의 그래프는

       y = f (x)의 그래프를 오른쪽으로 α 만큼 평행이동

 (2) y 대신에 y – β 를 대입한 y – β = f (x)

      즉,  y = f (x) + β 의 그래프는 y = f (x) 의 그래프를

      위쪽으로 β 만큼 평행이동

───────────────────────

[ A ]  y = a (x – α)² 의 그래프

예를 들어, (1) y = 2(x – 2)²  과  (2) y = 2(x + 3)² 의 그래프는 어떻게 그릴까요?

앞에서 복습한, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 아주 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = 2x² 이라고 놓으면,

(1) y = 2(x – 2)² 는 원래의 함수 식에서, x 대신에 x – 2 를 대입한 것이므로,

아래 그림에서의 파란색 포물선과 같이 오른쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 똑같은 평행이동의  원리로, y = 2(x + 3)² 는 원래의 함수 식에서 x 대신에 x + 3 을 대입한 것이므로, 위 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 왼쪽으로 3 만큼 평행이동한

따라서 포물선 축이 x = – 3 이 되겠지요?

[ B ]  y = ax² + β 의 그래프

이번에는, (1) y = – x² – 1  과  (2) y = – x² + 2 의 그래프도, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 쉽게 그릴 수 있습니다.

최초의 포물선 그래프를 y = – x² 이라고 놓으면,

(1) y = – x² – 1 은 원래의 함수 식에서, y 대신에 y + 1 을 대입한 것이므로, 아래 그림에서의 빨간색 포물선과 같이 아래쪽으로 1 만큼 평행이동한 것이겠지요?

(2) 또,  y = – x² + 2 는 y – 2 = – x² + 2. 즉, 원래의 함수 식에서, y 대신에 y – 2 를 대입한것이므로, 위 그림에서의 파란색 포물선과 같이 위쪽으로 2 만큼 평행이동한 것이겠지요?

[ C ]  y = a (x – α)² + β 의 그래프

이제, 앞에서 배운 것을 종합하면, 위 함수식의 그래프는 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요? 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고, [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용하면 됩니다. 

최초의 포물선 함수식 y = ax² 에서, x 대신에 x – α 를 대입하고 그리고 동시에( ∩ )

 y 대신에 y – β 를 대입한 그래프이므로, y = ax² 의 포물선 그래프를 오른쪽으로 α 만큼

 평행이동 그리고 동시에( ∩ ) 위쪽으로 β 만큼 평행이동한 것이지요.

(1) 따라서, 포물선의 축은 x = 0 에서 x = α 로 바뀌게 되고

(2) 포물선의 꼭지점은 (0, 0) 에서 (α, β) 로 바뀌게 됩니다.

[ D ]  y = ax² + bx + c 의 그래프

이제, 일반적인 y = ax² + bx + c 로 주어지는 이차함수의 그래프는, 위에서 공부한 대로  y = a (x – α)² + β 의 꼴로 바꾸기만 하면, 최초의 포물선을 y = ax² 이라고 놓고,

[함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용해서, 아주 쉽게 그릴 수 있겠지요?

구체적으로 예를 들어서, y = 2x² – 12x + 19 의 그래프를 그려 볼까요?

(1) 우선, 함수 식을 y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야,

      [함수 그래프의 평행이동]의 성질을 이용할 수가 있겠지요?

   y = 2x² – 12x + 19

= 2(x – 3)² + 1

y – 1 = 2(x – 3)² 

(2) 최초의 함수식 y = 2x² 에서, x 대신에 x – 3 그리고 동시에( ∩ )

       y 대신에  y – 1 를 대입한 것이라고 볼 수 있으므로,

      아래 그림과 같이 꼭지점 (0, 0) 에서 (3, 1) 로 평행 이동한

      빨간색 포물선이 됩니다.

문자를 써서, 이 내용을 일반화시켜 볼까요?

(1) 우선, 함수식 y = ax² + bx + c 을  y = a (x – α)² + β 의 완전제곱의 꼴로 고쳐야 하겠지요?

  y = ax² + bx + c

            = a{x² + (b/a)x} + c

            = a{x² + (b/a)x + (b/2a)²} + ⋯

            = a{x + (b/2a)}² + β

(2) 따라서, 최초의 함수식인 y = ax² 에서, x 대신에 x + b/2a 그리고 동시에( ∩ ) y 대신에

    y – β 를 대입한 것이니까, 꼭지점 (0, 0)에서 (– b/2a,  β)로 평행이동한 포물선이 됩니다.

참고로, 문자로 일반화 했을 때에는, 축의 방정식 x = – b/2a 또는 꼭지점의 x 좌표만을 기억해 두는 것이 좋습니다.

꼭지점의 y 좌표까지 공식으로 외우는 것은 불필요한 시간과 노력의 낭비일 뿐이며, 숫자로 주어진 경우에만 대입, 계산하여 필요한 답을 구하면 됩니다.