곱셈공식(3) 파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형

Pascal’s Triangle

"이항 곱셈공식의 계수는 외울 필요가 없어요"

" you don’t have to memorize

the coefficients in binomial expansions "

오늘은 프랑스 철학자이자 수학자인 파스칼이 정리해 놓은 아주 유명하고 재미있는 파스칼의 삼각형을 소개합니다.

파스칼의 삼각형은 이항정리의 계수를 알아내거나 삼각수 (triangular number) 등 여러가지의 특이한 숫자들의 규칙을 찾아내는 데에 활용되고 있습니다.

중학수학에서도 두 가지의 경우를 선택하는 경우의 수를 구하거나, 세제곱 이상의 곱셈공식 전개식에서 계수를 알아내는 데에 아주 편리하고 재미있는 내용이므로 원리를 잘 이해해 두고 활용법을 기억해 두기 바랍니다.

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곱셈공식에서 배웠던 내용 중에서, 두 개의 항만으로 이루어진 이항의 거듭제곱을 복습삼아 전개해 보도록 할까요?

(a + b)¹ = a + b

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

만일 4 차 이상의 이항식을 전개하면 그 계수는 어떻게 될까요?

이럴 때, 파스칼의 삼각형을 이용하면 아주 쉽게 그 계수들을 알아낼 수 있습니다.

아래 그림에서 보는 것과 같이 윗 줄의 좌우 두 숫자의 합을 적어 놓되, 숫자가 없을 때에는 0 이 있다고 가정하면 됩니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v    v    v    v    v

1    4    6    4    1

v    v     v     v     v    v

1    5   10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

파스칼의 삼각형에서 계수들이 좌우대칭의 모습을 보이고 있지요?


일반적으로 전개식을 나열하는 규칙은 다음과 같습니다.

(1) 삼각형에서 알아낸 계수를 앞에 쓰고, 

(2) 앞의 문자 a 는 차수를 하나씩 낮추고,

(3) 뒤의 문자 b 는 차수를 하나씩 올린다

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

︙

또한, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.


아래의 그림과 같이 정삼각형 도형을 만들기 위해 사용되는 물건의 총수를 나타내는 삼각수 (triangular numbers) 에 대해서 알아 보도록 할까요?

이 수들의 규칙은 뒤에서 배울 계차수열의 하나입니다.

                                                                       O
                                                 O                 O  O
                            O                O  O             O  O  O
             O          O  O           O  O  O         O  O  O  O       ...
    O    O  O     O  O  O      O  O  O  O     O  O  O  O  O

    a₁       a₂             a₃                  a₄                   a₅ 

그런데, 아래 그림의 파스칼 삼각형에서 사선의 빨간색으로 표시된 수열이 바로 삼각수 (triangular numbers) 가 되는 것을 발견할 수 있습니다.

0   1   0

v    v

1    1

v    v    v

1    2    1

v    v    v    v

1    3    3    1

v     v    v    v     v

1     4    6    4     1

v    v     v    v     v    v

1    5    10   10    5    1

v    v     v     v     v     v    v

1    6    15   20   15    6    1

︙

뿐만 아니라, 파스칼의 삼각형에서는 여러가지 특이한 숫자들의 규칙을 찾아낼 수 있습니다.

고등학생들도 조금 어려워하는 피보나치 (Fibonacci) 수열에 대해서 알아 보도록 할까요?

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1

                   (source : wikipedia – Pascal’s triangle)

위의 표로 나타낸 파스칼 숫자에서, 사선으로 보이는 같은 색의 셀들을 더해서 차례로 나열하면 피보나치 수열이 됩니다.

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = 1 + 1 = 2

a₄ = 2 + 1 = 3

a₅ = 1 + 3 + 1 = 5

a₆ = 3 + 4 + 1 = 8

a₇ = 1 + 6 + 5 + 1 = 13

︙

수열에서 이웃하는 항들 사이에 성립하는 일반적인 관계식을 점화식이라고 합니다. 이 관계식으로 관찰할 때, 피보나치 수열은 특이하게도, 제 3 항부터의 값이 직전에 있는 두 개의 항의 값을 합하여 결정되는 특징을 가지고 있습니다. 

점화식으로 나타낸 다음 실제로 맞는지 확인해 보도록 할까요?

------------------------

a_n = a_n-1 + a_n-2

------------------------

a₁ = 1

a₂ = 1

a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 1 = 2

a₄ = a₂ + a₃ = 1 + 2 = 3

a₅ = a₃ + a₄ = 2 + 3 = 5

a₆ = a₄ + a₅ = 3 + 5 = 8

a₇ = a₅ + a₆ = 5 + 8 = 13

︙

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영어번역을 함께 보시려면, 아래의 링크를 눌러주세요.

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http://jaymathbee.blogspot.kr

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