연립일차부등식(5) 연립일차부등식의 활용

연립일차부등식의 활용

systems of linear inequalities word problem - catch up

"부등식을 세운 다음에는 그래프나 다이어그램으로 해결해 보세요"

" try to visualize your strategy after translating into inequalities "

  

기본적으로 부등식은 범위를 다루는 개념이므로, 수직선 (number line) 이나 그래프를 이용해서 문제의 내용과 의미를 파악하고 해결하는 훈련이 절대적으로 필요한 단원입니다.

다소 낯설고 어렵게 느껴지더라도, 최대한 그래프나 수직선 다이어그램을 활용한 설명을 추가하려고 하니, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀 두어야 합니다.

부등식 해의 정확한 구간이라는 것이 다른 표현으로는 바로 최대값 및 최소값 문제이므로, 부등식의 영역과 함수 그래프의 개념으로 해결할 수 있어야, 상위권의 우수한 수학실력을 갖추게 된다는 점을 명심하기 바랍니다.

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먼저, 정수해의 개수를 구하는 문제 유형을 보도록 할까요?

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  아래의 연립 일차부등식의 해가 2 개의 정수만을 포함하도록 상수 a 의 값의 범위를

  구하여라.

            ↱   – 2x + 1 > – x – 3

            ↳   2x + a – 1 ≤ 3x + 1

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(1) 우선, 주어진 연립방정식을 간단하게 정리한 다음, 서로 다른 두 부등식을 구분할 수 있도록 각각 번호를 붙입니다.

x < 4       ⋯ ①

x ≥ a – 2  ⋯ ②

(2) 두 부등식 중에서, 미지수가 없는 x < 4 의 구간을 먼저 수직선 (number line) 에 나타냅니다. 아래 그림에서 파란색 구간으로 표시한 것과 같이, 등호가 없으니까 큼직하게 속이 비어 있는 하얀 동그라미로 표시한다고 했지요?

(3) 그 다음에, 미지수가 포함된 x ≥ a – 2 의 구간을, 문제의 조건에 맞게 2 개의 정수만 포함되도록, 높이를 다르게 해서 그려 넣습니다.

위 그림의 빨간색 구간은 등호가 있으니까, 속이 채워진 동그라미로 표시해야 하겠지요? 만일, 조금 어렵게 느껴진다면, (a – 2) = k 로 치환해도 좋습니다.

(4) 문제에서 정수의 개수가 2 개라고 했으니까, 위 그림에서 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 좌우로 움직여 보면서, 자연수 2 와 3 이 보라색의 공통구간 내에 들어올 수 있도록 범위를 구해내면 됩니다.

(5) 만일 정확한 판단이 어렵게 느껴진다면, 빨간 동그라미로 표시된 (a – 2) = k 를 정답 구간으로 추정되는 자연수 1 또는 2 위에 아예 올려 놓고 고민해 보면, 보다 쉽게 알아낼 수 있습니다.

1 < (a – 2) = k ≤ 2

∴  3 < a ≤ 4

이번에는 그래프를 이용하는, 조금 다른 유형의 따라잡기 문제를 풀어 보도록 할까요?

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   30 분 전에 시속 50 km/h 의 오토바이를 타고 도망간 범인을, 경찰이 순찰차로

   그 뒤를 쫓기 시작하였다. 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 최소한 얼마 이상의

   속력으로 달려야 하는가?

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(1) 우선, 문제에서 묻고 있는 경찰차의 속력을 x km/h 라고 놓고, 시간 단위를 통일

     시켜야 합니다. 또한, 가급적 분수식 보다는 [속력 × 시간 = 거리] 의 곱셈 형태가

     좋다고 지난번에 배웠지요?

(2) 이제, 경찰차가 달린 시간을 1 시간 이라고 놓고, 부등식을 세워 보도록 할까요?

경찰차가 달린 거리 = x km/h × 1 시간

범인이 달린 거리 = 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

(3) 따라서, 경찰이 범인을 검거할 수 있으려면, 아래의 계산 결과와 같이

     경찰차의 최소 속력은 75 km/h.

x km/h × 1시간 ≥ 50 km/h × (1 + 0.5) 시간

∴  x ≥ 75

이번에는 같은 문제를 직선의 그래프를 이용해서 풀어 보도록 할까요?

(1) 일반적인 그래프로 나타내기 위해서는, 경찰차가 달린 시간을 t 라고 놓은 다음,

     정의역인 가로축으로 정하고, 경찰차와 범인이 달린 거리를 함수인 y 축으로

     놓는 것이 좋습니다.

(2) 범인이 달린 거리는 y = f (t) = 50 × (t + 0.5) 이고, 경찰차가 달린 거리는

     y = g (t) = x × t 가 되니까,

f (t) = 50 × (t + 0.5) ≤ x × t = g (t)

(3) 위 부등식의 좌변과 우변을, 한 좌표평면에 직선의 그래프로 나타내 볼까요?

(4) 범인은 30분 전에 50 km/h의 속력으로 도주하였으니까 위 그래프에서 빨간색의 직선으로, 경찰차는 추격하는 속력을 구하는 것이니까 파란색의 실선 또는 점선으로 나타낼 수 있겠지요?

(5) 이제, 1 시간 내에 범인을 검거하려면, 위 그래프의 노란색 으로 표시된 영역 안에서 경찰차인 파란색의 실선 혹은 점선이 범인인 빨간색 실선과 만나거나 그 위에 있어야 하겠지요?

(6) 따라서, 경찰차가 달려야 하는 최소한의 속력은, 그래프에서 파란색의 실선인 경우가 됩니다. 즉, 함수식에 (1, 75) 를 대입하면 경찰차의 최소한의 속력이 구해집니다.

y = g (t) = x × t

75 = 1 × t

∴  x = 75 km/h

기초 단계에서는, 좌표평면에서 그래프나 부등식의 영역으로 푸는 방법이 더 까다롭고 어렵다고 느껴질 지도 모르겠지만, 상위권의 심화수준으로 갈수록 더욱 쉽고 강력한 해결 방법이니까, 반드시 기본 원리와 해결 과정을 철저하게 익혀 두기 바랍니다.

절대값 그래프(2) 절대값 일차함수의 그래프

절대값 일차함수

linear absolute value functions

"절대값 그래프부터 상위수학의 시작입니다"

" graphing absolute value functions will lead you to

the higher level mathematics "

함수의 그래프는 고등수학 미적분까지 이어지는 중고등수학의 가장 핵심적인 단원입니다.

이 중에서도, 절대값 함수의 그래프는 구간을 나누어 생각해야 하고, 각각의 구간별 풀이는 교집합(∩)과 합집합(∪)의 개념을 논리적으로 정확하게 적용해야 하는 사고력 수학의 전형적인 유형입니다.

중고등 과정의 중급 및 심화문제에서 자주 등장하는 매우 중요한 유형이고, 함수 그래프에서도 많이 응용이 되는 개념이므로, 반드시 기본개념과 응용력을 철저히 익혀야 합니다.

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함수 y = | x | 의 그래프는 어떻게 그려야 할까요?

절대값이 포함된 일차함수도, 앞에서 배웠던 절대값 방정식과 같이 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 음(–)의 값인지에 따라, 2 가지 경우로 나누어 그래프로 나타내는 것이 원칙입니다.

(A)  x < 0 일 때	(B)  x ≥ 0 일 때
y = – x	y = x

위 내용을 이해하기 쉽게, 논리 다이어그램으로 나타내 볼까요?

(A)  A 일 때	(B)  B 일 때
P	Q

따라서, 답은 (A∩P)∪(B∩Q) 가 되겠지요? 이제 이 내용을 그래프로 나타내도록 합니다.

(1) x < 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 음 (–) 이 되는, II 와 III 사분면을 나타내니까, 아래 그림에서, 빨간색으로 표시된 영역입니다.

(2) 이제, (A∩P) 이니까 이 빨간색 영역에서만 y = – x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 감소하는 파란 직선입니다.

  

(3) x ≥ 0 이 나타내는 부등식의 영역은, 좌표평면에서 x 값이 양 (+) 이 되는, I, IV 사분면과 y 축을 포함하는 영역으로, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역입니다.

(4) 이번에도 (B∩Q) 이니까, 이 파란색 영역에서만 y = x 의 그래프를 그려 넣어야 하겠지요. 아래의 그림에서 증가하는 파란 직선입니다.

  

(5) 마지막으로, (A∩P)∪(B∩Q) 이니까, 위의 (2)∪(4) 인 두 반직선 그래프의 합집합(∪) 을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 결과는 아래 그림에서 보듯이, 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?

   

이제, y = | x | 의 그래프 그리기가 충분히 이해되었다면, 별도로 구간을 나누어 생각하지 않더라도, 위의 그림이 머리 속에 그대로 떠올라야 합니다. 수학에서도 가장 기초적이고 기본적인 것은 확실하게 이해한 후 기억해 두어야, 한 계단씩 더 어려운 심화단계로 쉽게 나아갈 수 있습니다.

이제, 조금 더 복잡한 y = | x – 3 | – | x + 1 | 의 그래프를 그려볼까요?

이번에도, 절대값 안의 값이 양(+)의 값인지 또는 음(–)의 값인지에 따라, 각각 2 가지씩 이지만, – 1 ≤ x 와 x < 3 의 구간은 하나로 합쳐지니까, 총 세 구간으로 나누면 되겠지요?

y = | x – 3 | – | x + 1 |

(A) x < –1일 때	(B) –1≤ x < 3일 때	(C) x ≥ 3일 때
y = –x+3 – (–x–1) y = 4	y = –x + 3 – (x+1) y = – 2 x + 2	y = x – 3 – (x+1) y = – 4

이것도, 앞에서 설명한 (A∩P)∪(B∩Q)∪(C∩R) 의 개념을 적용하면 되겠지요?

(1)  x < – 1 이 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 빨간색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = 4 의 그래프를 그려 넣고,

(2)  – 1 ≤ x < 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래의 그림에서 노란색으로 표시된 영역이니까, 여기에는 y = – 2 x + 2 의 그래프를 그리면 되겠지요?

(3) 마지막으로,  x ≥ 3 가 나타내는 부등식의 영역은, 아래 그림에서 파란색으로 표시된 영역이니까, 여기에서는 y = – 4 의 그래프를 그리면 됩니다.

(4) 이제, 위의 [(1)∪(2)∪(3)] 이니까, 세 그래프의 합집합(∪)을 한 좌표평면에 합쳐서 그리면 됩니다. 아래 그림에서 파란색 꺽은선 그래프가 되지요?