일차함수(y = kx)
linear function
"함수그래프는 상위수학으로의 관문"
" function graphs are the gateway
to higher level math "
일차함수의 그래프는, 일차 비례식을 좌표평면에 나타내는 가장 기초적인 내용부터, 중학과정에서는 포물선과 직선 그리고 고등과정에서는 다항함수의 곡선과 직선의 관계까지 다양하게 응용되는 단원입니다.
문과 고등학생 중에는 직선의 그래프도 제대로 못 그려서 쩔쩔매는 모습을 자주 봅니다. 수학실력의 차이는, 함수와 그래프에서 비롯된다고 할 정도로 중요하니, 기초부터 확실하게 다져 두기 바랍니다.
오늘은 간단한 비례식의 직선부터, 쉽고 빠르게 그래프를 그릴 수 있는 방법을 설명할 예정이니, 철저히 숙달시켜 두어야 합니다.
다시 강조하지만, 문과라 하더라도, 고등과정의 다항함수의 미적분까지 중고등 수학 전반에서 활용되는 매우 중요한 개념입니다.
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일반적으로 y 가 x 의 값에 정비례한다고 하면, y 는 x 의 실수배가 되니까, 식으로는 y = k x 라고 표현합니다.
그러면, k 가 1 일 때, 즉, y = x 의 그래프는 어떻게 그릴까요? x 값에 따라 정해지는, y 값들의 일부만 표로 나타내 볼까요?
x
|
–3
|
–2
|
–1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
y
|
–3
|
–2
|
–1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
이 표의 값들은 그래프로 나타낸다면, 좌표평면에 찍히는 점 (x, y) 의 좌표들이니까, … (–3, –3), (–2, –2), … , (3, 3) … 들을 포함하는 무수히 많은 빨간점들의 집합, 즉 아래 그림에서 파란색 직선이 되겠지요?
이 식에서 k 를 일반화해서 좌표평면에 나타내면, 어떻게 나타날까요?
k 가 1 일 때, 2 일 때, 3 일 때 … 등을 그래프로 그려 볼까요?
위 그림에서, k 가 1 일 때는 기울기가 45° 인 파란색 직선이고, k 값이 점점 커질 수록 y 축에 가까이 붙는 모양이지요? 따라서, 이 k 값을 기울기라고 합니다.
예컨데, k = 3 이라면, k = 3 = (+3) / (+1) 이라고, 분모를 자연수(+)로 하는 기약분수로 고친 다음, [(분모) 오른쪽으로 1칸] 움직일 때, [(분자) 위로 3칸] 간다고 해석합니다.
또, 기울기 k = 5/3 이라면, = (+5) / (+3) 이라고 해석한 다음, [오른쪽으로 3칸] 움직일 때, [위로 5칸] 간다고 하면 되겠지요?
만일, 음수(–) 인 k = – 2/3 이라면, 어떻게 해석해야 할까요?
k = (–2) / (+3) 이라고 바꾼 다음, 위 그림에서 초록색 점선으로 표시된 만큼인 [오른쪽으로 3칸] 움직일 때, [아래로 2칸] 이동한다고 나타내면 되겠지요?
분모를 자연수(+)로 하는 기약분수로 고치는 이유는, 왼쪽이 아니라 오른쪽을 표준으로 하기 위함입니다.
직선의 그래프에 완전히 익숙해 지기전까지는, 항상 [(분모) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자) 위 또는 아래로 몇 칸] 간다고 해석해서 그리기를 강력하게 추천합니다.
분모를 자연수(+)로 하는 기약분수로 고치는 이유는, 왼쪽이 아니라 오른쪽을 표준으로 하기 위함입니다.
직선의 그래프에 완전히 익숙해 지기전까지는, 항상 [(분모) 오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [(분자) 위 또는 아래로 몇 칸] 간다고 해석해서 그리기를 강력하게 추천합니다.
만일, k = 0 이라면?
k = 0 = 0 / +(0이 아닌 숫자)라고 바꾸어서 해석하면, [오른쪽으로 몇 칸] 움직일 때, [0 칸]이 되니까, 위 그림에서 빨간색 직선 즉, x 축이 됩니다.
이제, 배운 것을 정리해 볼까요?
(1) k > 0 이면 오른쪽 위로 증가
(2) k < 0 이면 오른쪽 아래로 감소
(3) k = 0 이면 x 축을 나타낸다.
또, k 값이 음수(–) 이건, 양수(+) 이건 그 절대값이 크면 클수록 y 축에 가까이 달라 붙고, 그 값이 0 에 가까워지면 x 축에 점점 달라 붙는다.
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