다항식(1) 다항식의 정의

다항식의 정의

definition of polynomials

"상급수학 과정에서는 다항식이 자주 활용되요"

" polynomials are often used in higher level math "

다항식의 개념은 이차 이상의 방정식이나 함수를 다루는 기초입니다. 특히 고등수학이나 심화 중학수학에서는 다항식을 잘 다룰 줄 알아야 상위권을 유지할 수 있습니다.

다항식에서는 어떤 문자를 변수로 보느냐에 따라, 식의 성격이 달라지는 데에도, 이를 제대로 이해하지 못해 어려움을 겪는 고등학생들도 상당히 많습니다.

수학은 정의로부터 시작되는 정교한 논리적인 학문이므로, 기본적인 용어와 정의부터 정확하게 익혀두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

[ 1 ] 단항식과 다항식

2xy 와 같이 숫자와 문자들의 곱셈만으로 이루어진 식을 단항식이라 하고,

3xy – 2x + y – 1 과 같이 단항식들의 덧셈과 뺄셈으로 이루어진 식을 다항식이라 합니다.

이 때, 각각의 단항식을 다항식에서 항이라 부릅니다.

따라서, 3xy – 2x + y – 1 은 4개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

이번에는 단항식 3abxy 를 볼까요?

이 식을 x 에 관한 식으로 본다는 것은, 3aby * x 로 해석한다는 것이지요.

따라서, x 의 계수는 3aby 가 되고, x 의 최고차가 1차이니까, x 에 관한 일차 단항식이라고 말합니다.

만일, y 에 관한 식으로 본다면, 3abx * y 

따라서, y 의 계수는 3abx 가 되고, y 에 관한 일차 단항식이지요.

또한, a 에 관한 식으로 본다면, 계수는 3bxy 가 되고, a 에 관한 일차 단항식이라고 합니다.

위의 식을 x, y 에 관한 식으로 본다는 것은, 3ab * xy 로 해석한다는 것이므로,

계수는 3ab 가 되고, x 도 1차이고 y 도 1차인데 서로 곱해졌으니까,

최고차가 2차가 됩니다.

따라서, x, y 에 관한 이차 단항식이라고 말합니다.

참고로, x ² + x – √x  와 같이, x 에 관한 식에 √x 가 포함된 항이 있으면 무리식,

3aby / x 와 같이 x 로 나누어진 항이 있다면 분수식이라 부르고,

무리식이나 분수식은 다항식이라 하지 않습니다.

예를 들어, 다항식 3abx² + a³x – 3 을 볼까요?

(1) 위 식을 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 다항식이고

(2)  a 에 관한 식으로 본다면, 3차 다항식이고

(3)  b 에 관한 식으로 본다면, 1차 다항식이고

(4)  a, x 에 관한 식으로 본다면, a 의 3차와 x 의 1차가 곱해져서 최고차항이

      a³x 인 4차 다항식이 되지요.

이번에는 다항식 3abx² + a³x – 3 을 내림차순으로 정리하는 것을 알아볼까요?

이 식은 x 에 관한 식으로 본다면, 2차 ⇒ 1차 ⇒ x 가 없는 상수항 순으로 잘 정리되어

있으니까, 내림차순으로 정리했다고 할 수 있습니다.

만일, a 에 관한 내림차순으로 정리한다면, xa³ + 3bx²a – 3 가 되겠지요?

[ 2 ] 다항식의 연산

다항식을 내림차순으로 정리하는 것은, 동류항 등을 찾아서, 다항식의 4칙 연산을 편리하게 하기 위한 것입니다.

우선, 다항식의 덧셈의 예를 한 번 볼까요?

(1) (3ax² + a²x – 3) + (2bx³ – 2ax + b)

      = 2bx³ + 3ax² + (a²– 2a)x + (b – 3)

위와 같이 x 에 관한 내림차순으로 잘 정리하면, 다항식의 덧셈이나 뺄셈은 동류항을 빨리 찾아 내서, 아주 쉽게 계산해 낼 수가 있습니다. 이 때, 결과인 답도 내림차순으로 정리해서 표현하면 아주 좋지요.

이번에는, 다들 조금 어려워 하는 다항식의 나눗셈을 한 번 볼까요?

  

(2) (2x³ – 3x² + 1) ÷ (x – 2)

               2x²  + x  + 2           

  x – 2   )  2x³ – 3x²        + 1

               2x³ – 4x²           

                        x²         + 1

                        x² – 2x       

                               2x + 1

                               2x – 4 

                                      0

특히, 나눗셈에서는 중간에 비어 있는 항들 까지도 수직으로 열을 맞추고, 차수에 맞도록 내림차순으로 정리하지 않으면 다항식의 나눗셈을 할 수가 없습니다. 내림차순으로 정리하는 것이 얼마나 중요한지 알겠지요?

마지막으로, 다항식의 곱셈을 공부해 볼까요?

곱셈공식이나 인수분해와 연관되는, 가장 간단한 다항식인 이항식 곱셈의 예 하나를 풀어 봅시다. 분배법칙을 한 단계씩 적용해 나간 후에, 내림차순으로 정리하면 됩니다.

(3) (a + b)² = (a + b) * (a + b)

                 = (a + b) * a + (a + b) * b

                 = a² + ba + ab + b²

                 = a² + 2ab + b²

그러면 확인 문제를 한번 풀어 볼까요?

──────────────────────────────

 다음 다항식의 나눗셈을 계산하고, 몫과 나머지를 구하여라

 (x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5) ÷ (x² – 2)

──────────────────────────────

                x²  + 3x   – 1               

  x² – 2   )  x⁴ + 3x³ – 3x² – 4x – 5

                x⁴          – 2x²             

                       3x³ – x²  – 4x – 5

                       3x³        – 6x       

                            – x²  + 2x

                            – x²        + 2  

                                      2x – 2

인수분해(1) 인수분해

인수분해

factoring polynomials

"기본적인 인수분해 공식들도 외워두어야 해요"

" You should also memorize basic factoring formulas "

인수분해는 앞에서 공부한 다항식의 전개과정을 반대로 처리해서, 주어진 다항식을 곱셈만으로 연결된 단항식으로 역변환하는 것입니다.

이 단원에서는 정형화된 인수분해 공식 외에, 다양한 인수분해 기법들을 살펴볼 것입니다.

중고등수학에서 이차 이상의 방정식과 부등식 등을 해결하기 위하여는 이러한 기법들도 완벽하게 이해한 후, 잘 활용할 수 있도록 기억해 두어야 합니다.

초등수준에서 구구단을 외워 두어야 산수계산을 잘 할 수 있는 것과 마찬가지로, 중고등수학에서 방정식 등을 해결하기 위하여는 반드시 기초적인 인수분해 공식들을 외워 두어야만 합니다.

상위수준의 어려운 심화수학도 기본적인 원리를 기억해 두거나 기초적인 공식에 대한 암기에서 출발한다는 점을 명심하고, 반복적인 연습과 철저한 복습을 해두기 바랍니다.

♧   ♧   ♧   ♧   ♧   ♧

첫 번째는 주어진 다항식에서 공통인수를 찾는 방법입니다.

───────────────────────────

  [ A ]  ax + ay + az = a(x + y + z)

───────────────────────────

예를 들어, x³ – 2ax² – 4x + 8a 라는 4 개의 항으로 이루어진 삼차의 다항식은,

(1) x – 2a 라는 공통인수만 쉽게 찾아낸다면,

     즉시 인수분해를 할 수가 있지요.

(2)  x³ – 2ax² – 4x + 8a

       = (x – 2a)x² – 4(x – 2a)

       = (x – 2a) (x + 2) (x – 2)

따라서, x³ – 2ax² – 4x + 8a = 0 이라는 삼차방정식은,

 인수분해를 하면 (x – 2a) (x + 2) (x – 2) = 0 이니까,

 x = 2a  또는  x = 2  또는  x = – 2 이라고 풀 수 있는 것이지요.

위와 같이 인수분해를 할 수 있었기 때문에, [ A * B = 0 이면,  A = 0 또는 B = 0 ]

이라는 'Zero Product Property' 원리를 이용해서, 쉽게 해를 구할 수 있는 겁니다.

공통인수를 찾아내기 위하여는, 많은 문제 풀이를 통한 부단한 연습이 필요합니다.

두 번째로는, 최고차항의 계수가 1 이 아닌 이차 방정식을 인수분해하는 방법을 알아볼까요?

─────────────────────────────────────

 [ B ]  acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b) (cx + d)

─────────────────────────────────────

     3x²  +  7x   –   6  =   0

     1   ↖      ↗    3   =   9

     3   ↙      ↘   –2  =  –2

                                   7

(1) 위의 공식을 쉽게 적용하기 위해서는, 2차항의 계수와 상수항의 숫자를 잘 살펴보면

     되겠지요?


(2) 2차항의 계수는 a * c 로 이루어져 있고, 상수항의 숫자는 b * d 로
      이루어져 있으니까, 약수로 분해해 보면 알아낼 수 있겠지요?


(3) 따라서, 인수분해한 켤레의 쌍들을, 서로 크로스( Χ )로 곱해서
      일차항의 계수를 맞추어 내는 방법이지요.

     3x²  +  7x   –   6  =   0

     1   ↖      ↗    3   =   9

     3   ↙      ↘   –2  =  –2

                                   7

(4) 위에서 맞추어진 크로스 식을 그대로 옮겨 적으면,

       3x² + 7x – 6 = (x + 3) (3x – 2)

따라서, 3x² + 7x – 6 = 0 이라는 이차방정식은 인수분해를 하면,
(x + 3) (3x – 2) = 0 이니까,

 x = – 3  또는  x = 2/3 라고 풀 수 있겠지요?

인수분해가 되는 이차 방정식은 이 방법이 가장 간편하니, 많은 연습을 통해서 반드시 익혀 두기 바랍니다.

[ C ] 치환하는 방법

이번에는 공통인수가 식인 경우로, 이 때는 쉽게 암산이 되지 않는다면, 그 식을 A 라고 치환하는 기법입니다. 예를 들어 볼까요?

(x² + x – 6)² – 5(x – 2) (x + 3) + 6 = 0

위의 식에서 (x – 2) (x + 3) 또는 x² + x – 6 이 공통인수인 것이 잘 보이나요?

(1) 쉽게 암산이 되지 않는다면, 이 때는 x² + x – 6 = A 라고 치환하는

     것이 매우 편리합니다. 치환하면,

      (x² + x – 6)² – 5(x – 2) (x + 3) + 6 = 0

(2) A²  –  5A  +    6  =    0

      1   ↖    ↗  – 3  =  – 3

      1   ↙    ↘  – 2  =  – 2

                                – 5

(3) (A – 2) (A – 3) = 0

     (x² + x – 6 – 2) (x² + x – 6 – 3) = 0

  ∴  (x² + x – 8) (x² + x – 9) = 0

(4) 더 이상 인수분해가 되지 않으니까, 근의 공식을 이용하면,

     x = [ – 1 ± √{1² – 4*1*(– 8)}] / 2*1  또는  x = [ – 1 ± √{1² – 4*1*(– 9)}] / 2*1

     ∴  x = ( – 1 ± √33 ) / 2  또는  x = ( – 1 ± √37 ) / 2

[ D ] 복이차식

이번에는 3차항과 1차항이 없는, 복이차식 형태의 사차 방정식

x⁴ – 3x² + 1 = 0 을 풀어 볼까요?

(1) 먼저, 4차항을 a², 상수항을 b² 이라고 암산을 하거나 치환을 해놓고,

(2) 주어진 식을 (a + b)² 또는 (a – b)² 의 2가지로 변형시켜 봅니다.

       x⁴ – 3x² + 1 = (x² + 1)² – 5x²

       x⁴ – 3x² + 1 = (x² – 1)² – x²

(3) 위의 두 식 중에서,  A² – B² = (A + B) (A – B) 꼴에서 B 가 정수가
      되는 계수로 인수분해가 되게 하는 식으로 결정합니다.

      x⁴ – 3x² + 1 = (x² – 1)² – x²

                         = (x² + x + 1) (x² – x + 1) = 0

(4) 따라서, 근의 공식을 대입하면

     x = { – 1 ± √(1² – 4*1*1)} / 2*1  또는  x = [ 1 ± √{(– 1)² – 4*1*1)}] / 2*1

     ∴  x = ( – 1 ± √3i ) / 2  또는  x = ( 1 ± √3i ) / 2

[ E ] 낮은 차수의 문자에 관하여 내림차순으로 정리

인수분해의 기법 중 가장 기본적이면서도, 어려운 유형들을 해결할 수 있는 가장 중요한 방법입니다.

이번에는, 3차 방정식 x³ – (a – 2b)x² – 2a (a + b)x – 4a²b = 0 을 풀어 볼까요?

(1) 도무지 공통인수를 찾기가 쉽지 않지요? 이럴 때는 제일 먼저,

      가장 낮은 차수의 문자에 관하여 내림차순으로 정리하는 겁니다.

(2) 변수인 x 는 최고차수가 3차이고, 나머지 문자 중 a 는 최고차수가 2차,

      b 는 최고차수가 1차이지요?

(3) 따라서, 좌변의 식을 b 에 관한 내림차순으로 다시 정리합니다.

      x³ – (a – 2b)x² – 2a (a + b)x – 4a²b = 0

      2(x² – ax – 2a²)b + x(x² – ax – 2a²) = 0 

(4) 이제 좌변을 인수분해 하면,

      2(x² – ax – 2a²)b + x(x² – ax – 2a²) = 0

      (2b + x) (x²  –  ax  –  2a²) = 0

                   1   ↖    ↗    1   =   1

                   1   ↙    ↘  – 2   =  – 2

                                              – 1

 ∴  (x + 2b) (x + a) (x – 2a) = 0

(5) 따라서, x = – 2b  또는  x = – a  또는  x = 2a