수열(3) 등비수열

등비수열

geometric sequences

"등비수열은 같은 값을 계속 곱해주는 거예요"

" it's a sequence multiplying the same ratio "

등비수열 또한 초등산수 시절부터 배우는, 수의 규칙성을 찾는 유형 중에서 가장 기초적인 수열의 하나입니다.

등비수열도 일반적인 제 n 항까지, 그리고 공비 r 등의 문자로 표현되는 일반화된 기본개념을 정확하게 익혀 두어야, 앞으로 배우는 계차수열이나 무한 등비급수 등의 상위 개념을 어려움 없이 공부해 낼 수 있습니다.

특히, 뒤에서 배우게 될 여러가지 수열의 점화식 등에서도 자주 활용되는 기본 개념이므로, 응용력을 철저히 익혀두기 바랍니다.

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앞에서 공부했던 수열을 복습해 보도록 할까요?

예를 들어 2, 6, 18, 54, 162, ... 와 같이, 3 을 계속해서 곱하는 방식으로 계속해서 다음 항을 만드는 수열을 등비수열이라고 하고, 이 때의 곱해지는 일정한 상수값을 공비라고 한다는 것을 앞에서 배웠습니다.

이 등비수열의 구조를 조금 더 자세히 살펴 보도록 할까요?

2,    6,   18,   54,    162, ...

∨      ∨      ∨      ∨       

x 3    x 3    x 3    x 3      

a₁ = 2

a₂ = 2 x 3

a₃ = 2 x 3 x 3

a₄ = 2 x 3 x 3 x 3

∴  a_n = 2 x 3^{(n – 1)}

위에서 보는 것과 같이, n 번째의 일반항인 a_n 은 첫째 항인 a₁ 에 (n – 1) 개의 공비를 곱하는 방법으로 구해진다는 것을 알 수 있습니다.

이 내용을 일반화해서 공식으로 정리하도록 할까요?

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등비수열 { a_n } 의 첫째항을 a₁, 공비를 r 라고 하면 n 번 째의 일반항 a_n 은 아래와 같이 구한다.

a_n = a₁ x r ^{(n – 1)}

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보기 문제로, 아래의 수열에서 10 번째 항과 제 n 번째 항을 구해 보도록 할까요?

(1) 3, 6, 12, 24, 48, ...

a₁ = 3,   r = 2

∴  a_n = 3 x 2^(n – 1)

∴  a₁₀ = 3 x 2^(10 – 1) = 1536

(2) 2, – 6, 18, – 54, 162, ...

a₁ = 2,   r = – 3

∴  a_n = 2 x (– 3)^(n – 1)

∴  a₁₀ = 2 x (– 3)^(10 – 1) = – 2 x 3⁹

그러면, 연습문제들을 풀어 보도록 할까요?

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공비가 0.5 이고 제 6 항이 5 인 등비수열의 첫째항을 구하여라. 

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱  r = 0.5                          ⋯ ①

↳  a₆ = a₁ x r ^{(6 – 1)} = 5    ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[대입법]  ① ⇒ ②  :

a₁ x (0.5)^{(6 – 1)} = 5

∴  첫째항 a₁ = 5 x 2⁵ = 160

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제 5 항이 48 이고 제 10 항이 – 1536 인 등비수열의 첫 째항을 구하여라.

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(1) 우선, 주어진 내용을 기호를 써서 식으로 나타내 볼까요?

↱  a₅ = a₁ x r ^{(5 – 1)} = 48             ⋯ ①

↳  a₁₀ = a₁ x r ^{(10 – 1)} = – 1536   ⋯ ②

(2) 미지수 2 개와 서로 다른 식 2 개의 연립방정식 구조를 갖고 있으므로,

[승제법]  ② ÷ ① :

r ⁵ = – 32 = (– 2)⁵

∴ r = – 2  ⋯ ③

[대입법]  ③ ⇒ ① :

a₁ x (– 2)⁴ = 48

16 a₁ = 48

∴  첫째항 a₁ = 3

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제 n 항이 아래와 같이 표현되는 등비수열에서, 그 첫째항과 공비를 구하여라.

a_n = 2 x 3^(2n – 1)

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(1) 주어진 일반항을 a_n = a₁ x r ^{(n – 1)} 의 표준형태로 바꾸면,

2n – 1 = 2(n – 1) + 1

∴  a_n = 2 x 3^{{2(n – 1) + 1}}

= 2 x 3^2(n – 1) x 3¹

= 2 x 3 x 3^2(n – 1)

∴  a_n = 6 x 9^{(n – 1)}

따라서,  첫째항 a₁ = 6,  공비 r = 9

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  세 수 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이루고, a, b, 36 은 이 순서로

  등비수열을 이룰 때, 두 자연수 a, b 를 구하여라.

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(1) 8, a, b 는 이 순서로 등차수열을 이룬다고 했으니까,

2a = 8 + b   ⋯ ①

(2) 또, a, b, 36 은 이 순서로 등비수열을 이룬다고 했으니까,

b² = a x 36  ⋯ ②

(3) 이제, 일차식과 이차식을 연립으로 풀 때에는, 반드시 일차식을 이차식에 대입하는 것이 좋습니다.

[대입법]  ① ⇒ ② :

(2a – 8)² = a x 36

a² – 17a +16 = 0

(a – 16) (a – 1) = 0

∴  a = 16  or  1

(4) 이 결과를 ① 식에 대입하면,

b = 24  or  – 6

– 6 은 문제의 뜻에 맞지 않으므로 버립니다.

∴  (a, b) = (16, 24)

수열(1) 수열

  

수열

sequences

"수열은 규칙성을 찾아내는 게임이예요"

" it's a game to find number patterns "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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예를 들어 2, 4, 6, 8, 10, ... 과 같이 일정한 규칙에 따라, 순서대로 수들이 나열된 것을 수열이라고 하고, 일반적으로 기호 { a_n } 이라고 나타냅니다.

이 때, 아래 첨자는 몇 번째에 해당하는 가를 표현하므로, 당연히 자연수의 순서대로 표시합니다. 즉, a₁ 은 첫 번째 숫자로 '첫째항', a₂ 는 두 번째 숫자로 '제 2 항' 등으로 ... , a_n 의 n 은 일반적인 n 번째의 숫자로서 '제 n 항' 을 나타내는 것입니다.

위의 예를 든 수열은 짝수들이니까, { a_n } = { 2n } 이라고 구체적으로 표현할 수 있습니다.

예를 몇 가지 더 들어 보도록 할까요?

(1) { b_n } = { 3ⁿ } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입한 후에, 순서대로 나열하면 됩니다.

b₁ = 3,   b₂ = 3²,   b₃ = 3³, ...

∴  { b_n } = 3, 3², 3³, 3⁴, ...

or  { b_n } = 3, 9, 27, 81, 243, ...

(2) { c_n } = { n² } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입해서 나열하면 되니까,

c₁ = 1,   c₂ = 4,   c₃ = 9, ...

∴  { c_n } = 1, 4, 9, 16, 25, ...

or  { c_n } = 1, 2², 3², 4², ...

또, 수열이 a₁, a₂, a₃, ... , a₁₀ 과 같이 유한개의 항을 갖고 있으면 '유한수열' 이라 하고, a₁, a₂, ... , a₁₀, ... 과 같이 무한개의 항을 갖고 있으면 '무한수열' 이라고 합니다.

이번에는 처음 5 개 항이 나열된 수열을 보고, 꺼꾸로 일반항을 찾아내는 연습을 해 보도록 할까요? 처음에는 어렵겠지만, 항과 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보면, 조금 더 쉽게 규칙을 알아낼 수 있습니다.

(1) { a_n } = 1, 4, 7, 10, 13, ...

1,     4,     7,    10,   13, ...

∨      ∨      ∨      ∨       

+ 3   + 3    + 3   + 3      

a₁ = 1

a₂ = 1 + 3

a₃ = 1 + 3 + 3

a₄ = 1 + 3 + 3 + 3

∴  a_n = 1 + 3 x (n – 1)

= 3n – 2

(2) { a_n } = 1, 2, 4, 8, 16, ...

1,     2,     4,     8,   16, ...

      ∨      ∨      ∨     ∨       

     x 2    x 2    x 2    x 2     

a₁ = 1

a₂ = 1 x 2

a₃ = 1 x 2 x 2

a₄ = 1 x 2 x 2 x 2

∴  a_n = 1 x 2^{(n – 1)}

= 2^{n – 1}

이제, 맨 처음에 예를 들었던 { a_n } = { 2n } 의 특징을 조금 더 구체적으로 살펴 보도록 할까요?

어떤 수열의 특징과 규칙성을 알아내는, 가장 손쉬운 방법의 하나는 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보는 것입니다.

2,     4,     6,     8,    10, ... 

     ∨      ∨      ∨      ∨         

   + 2   + 2   + 2   + 2        

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 + 2 로 항상 일정하지요?

차이가 항상 같은, 이런 특징을 갖는 수열을 '등차수열' 이라고 부르고, 이 때의 항상 같은 차이를 특별히 '공차' 라고 합니다.

이번에는 { b_n } = { 3ⁿ } 의 특징을 계차를 통해서 살펴 보도록 할까요?

3,     9,     27,    81,   243, ... 

           ∨       ∨       ∨       ∨                 

x 3    x 3    x 3    x 3       

 

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 x 3 으로 항상 일정하지요?

차이가 항상 같은 비례값을 갖는, 이런 특징을 갖는 수열을 '등비수열' 이라고 하고, 이 때의 항상 같은 비례값을 '공비' 라고 부릅니다.

그러면, 등차수열, 등비수열과 조화수열 등에 관한 보다 구체적인 내용에 대하여는 다음에 공부하기로 합니다.

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