수열(1) 수열

  

수열

sequences

"수열은 규칙성을 찾아내는 게임이예요"

" it's a game to find number patterns "

수열은 순서대로 나열된 숫자들의 공통된 규칙을 찾아내는 마치 게임과도 같은 재미있는 단원입니다.

영리한 학생들은 초등산수 시절부터 나열된 항 사이의 계차로 쉽게 그 규칙성을 찾아내기도 하지만, 부분분수나 군수열 등 조금 더 어려운 유형들을 해결하려면 기본적인 유형들에 대한 어느 정도의 해법 암기도 필요합니다.

이번에는 수열의 정의와 사용되는 기호 등의 가장 기초가 되는 내용들을 설명하려고 합니다. 첫 단계부터 기초 개념과 원리을 확실하게 이해해 두기 바랍니다.

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예를 들어 2, 4, 6, 8, 10, ... 과 같이 일정한 규칙에 따라, 순서대로 수들이 나열된 것을 수열이라고 하고, 일반적으로 기호 { a_n } 이라고 나타냅니다.

이 때, 아래 첨자는 몇 번째에 해당하는 가를 표현하므로, 당연히 자연수의 순서대로 표시합니다. 즉, a₁ 은 첫 번째 숫자로 '첫째항', a₂ 는 두 번째 숫자로 '제 2 항' 등으로 ... , a_n 의 n 은 일반적인 n 번째의 숫자로서 '제 n 항' 을 나타내는 것입니다.

위의 예를 든 수열은 짝수들이니까, { a_n } = { 2n } 이라고 구체적으로 표현할 수 있습니다.

예를 몇 가지 더 들어 보도록 할까요?

(1) { b_n } = { 3ⁿ } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입한 후에, 순서대로 나열하면 됩니다.

b₁ = 3,   b₂ = 3²,   b₃ = 3³, ...

∴  { b_n } = 3, 3², 3³, 3⁴, ...

or  { b_n } = 3, 9, 27, 81, 243, ...

(2) { c_n } = { n² } 이라고 주어졌다면, 일반항 n 의 자리에 자연수를 차례대로 대입해서 나열하면 되니까,

c₁ = 1,   c₂ = 4,   c₃ = 9, ...

∴  { c_n } = 1, 4, 9, 16, 25, ...

or  { c_n } = 1, 2², 3², 4², ...

또, 수열이 a₁, a₂, a₃, ... , a₁₀ 과 같이 유한개의 항을 갖고 있으면 '유한수열' 이라 하고, a₁, a₂, ... , a₁₀, ... 과 같이 무한개의 항을 갖고 있으면 '무한수열' 이라고 합니다.

이번에는 처음 5 개 항이 나열된 수열을 보고, 꺼꾸로 일반항을 찾아내는 연습을 해 보도록 할까요? 처음에는 어렵겠지만, 항과 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보면, 조금 더 쉽게 규칙을 알아낼 수 있습니다.

(1) { a_n } = 1, 4, 7, 10, 13, ...

1,     4,     7,    10,   13, ...

∨      ∨      ∨      ∨       

+ 3   + 3    + 3   + 3      

a₁ = 1

a₂ = 1 + 3

a₃ = 1 + 3 + 3

a₄ = 1 + 3 + 3 + 3

∴  a_n = 1 + 3 x (n – 1)

= 3n – 2

(2) { a_n } = 1, 2, 4, 8, 16, ...

1,     2,     4,     8,   16, ...

      ∨      ∨      ∨     ∨       

     x 2    x 2    x 2    x 2     

a₁ = 1

a₂ = 1 x 2

a₃ = 1 x 2 x 2

a₄ = 1 x 2 x 2 x 2

∴  a_n = 1 x 2^{(n – 1)}

= 2^{n – 1}

이제, 맨 처음에 예를 들었던 { a_n } = { 2n } 의 특징을 조금 더 구체적으로 살펴 보도록 할까요?

어떤 수열의 특징과 규칙성을 알아내는, 가장 손쉬운 방법의 하나는 항 사이의 차이 즉 '계차' 를 알아 보는 것입니다.

2,     4,     6,     8,    10, ... 

     ∨      ∨      ∨      ∨         

   + 2   + 2   + 2   + 2        

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 + 2 로 항상 일정하지요?

차이가 항상 같은, 이런 특징을 갖는 수열을 '등차수열' 이라고 부르고, 이 때의 항상 같은 차이를 특별히 '공차' 라고 합니다.

이번에는 { b_n } = { 3ⁿ } 의 특징을 계차를 통해서 살펴 보도록 할까요?

3,     9,     27,    81,   243, ... 

           ∨       ∨       ∨       ∨                 

x 3    x 3    x 3    x 3       

 

위에서 보는 것과 같이, 항과 항 사이의 차이인 계차가 x 3 으로 항상 일정하지요?

차이가 항상 같은 비례값을 갖는, 이런 특징을 갖는 수열을 '등비수열' 이라고 하고, 이 때의 항상 같은 비례값을 '공비' 라고 부릅니다.

그러면, 등차수열, 등비수열과 조화수열 등에 관한 보다 구체적인 내용에 대하여는 다음에 공부하기로 합니다.

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