완전제곱수
square numbers
"홀수개의 양의 약수를 가진다면
무조건 제곱수네요"
" perfect square has
odd number of positive factors "
양(+) 의 약수의 개수의 개념과 관련된 완전 제곱수 문제는 중고등수학 전반에서, 직접적인 유도과정을 묻거나 결합된 형태의 유형으로 자주 출제되고 있습니다.
정확한 개념 및 유도 과정과 응용력을 익혀서, 항상 활용할 수 있도록 기억해 두기 바랍니다.
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(완전)제곱수는 어떤 특징을 갖고 있을까요? 예를 들어, 122 = 144 를 살펴 보도록 할까요?
144는 제곱수이니까, 소인수로 분해하면 (22 x 3)2 = 24 x 32 과 같이 지수가 항상 짝수일 수 밖에 없겠지요?
따라서, 양의 약수의 개수는 (4 + 1) x (2 + 1) 과 같이 홀수들의 곱이 될테니까, 전체의 개수는 항상 홀수가 될 수 밖에 없습니다.
반대로, 음이 아닌 정수 N 의 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면 그 수 N 은 반드시 완전제곱수일 수 밖에 없을까요?
예컨데, (p + 1) x (q + 1) x ⋯ 과 같이 계산된 결과가 홀수라는 것이지요. 그런데, 홀수들만의 곱이 홀수가 되는 것이니까, (p + 1), (q + 1), ⋯ 들은 모두 홀수일 수 밖에 없습니다.
따라서, p, q, ⋯ 와 같은 소인수의 지수들은 짝수일 수 밖에 없습니다.
이제, 공부한 내용을 문자로 일반화해서 정리해 두도록 할까요?
자연수 N 이 아래와 같이 소인수 분해되는 경우,
N = aα x bβ x ⋯ x zω
(1) 양의 약수의 개수가 홀수라고 한다면, 아래 곱셈의 결과가 홀수라는 뜻이 됩니다.
(α + 1) x (β + 1) x ⋯ x (ω + 1) = 홀수
(2) 그런데, 홀수들의 곱만이 항상 홀수가 되므로, 각각의 (α + 1), (β + 1), ⋯ (ω + 1) 가 모두 홀수가 되겠지요.
(3) 따라서, α, β, ⋯ ω 는 모두 짝수입니다. 이제, α = 2α', β = 2β', ⋯ ω = 2ω' 라고 놓으면,
N = aα x bβ x ⋯ x zω
= a2α' x b2β' x ⋯ x z2ω'
= (aα' x bβ' x ⋯ x zω')2
(5) 따라서, 자연수 N 은 (완전)제곱수가 됩니다.
이것만 알고 있으면, 다음과 같은 문제는 아주 쉽게 해결할 수 있습니다.
400 미만의 자연수 중에서 양의 약수의 개수가 홀수인 자연수의 개수를 구하여라.
위에서 공부한 대로, 홀수개의 약수를 가진 자연수는 (완전)제곱수이니까,
12, 22, 32, ⋯ 192
∴ 19 개
